Seja T uma transformação linear do espaço
dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 na variável
em
, definida da seguinte forma:
a) Calcule
.
b) Determine, se existir,
.
b) Determine, se existir,
Passo 1
Enunciado: Temos uma transformação linear
dada por
. No item (a) precisamos calcular
. No item (b) devemos encontrar, se existir, um polinômio
tal que
. Para isso usaremos avaliação de polinômios em pontos e a resolução de um sistema linear simples.
Passo 2
Cálculo de
: Avaliamos
em
.
Logo,
.
Passo 3
Determinação de
: Seja
. Impondo
substituímos
nas duas últimas equações:
Somando essas duas equações obtemos
e, em seguida,
. Logo
Este é o único polinômio cuja imagem é
.
Resposta
a)
.
b) A pré-imagem de sob
é o polinômio
.
b) A pré-imagem de