Seja T uma transformação linear do espaço P2 dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 na variável x em R^3, definida da seguinte forma:
T[p(x)]=(p(-1), p(0), p(1))
a) Calcule T^-1(0,3,0).
b) Determine, se existir, .

Passo 1

Enunciado: Temos uma transformação linear Tcolon P2to R^3 dada por T[p(x)]=(p(-1),p(0),p(1)). No item (a) precisamos calcular Tl(x^2+5x+6r). No item (b) devemos encontrar, se existir, um polinômio p(x)=ax^2+bx+c tal que T[p(x)]=(0,3,0). Para isso usaremos avaliação de polinômios em pontos e a resolução de um sistema linear simples.

Passo 2

Cálculo de T(x^2+5x+6): Avaliamos p(x)=x^2+5x+6 em x=-1,0,1.
p(-1)=(-1)^2+5(-1)+6=1-5+6=2,
p(0)=6,
p(1)=1+5+6=12
Logo, T(x^2+5x+6)=(2,6,12).

Passo 3

Determinação de T^-1(0,3,0): Seja p(x)=ax^2+bx+c. Impondo
p(-1)=a - b + c = 0,
p(0)=c = 3,
p(1)=a + b + c = 0,
substituímos c=3 nas duas últimas equações:
a+b+3=0implies a+b=-3,
a-b+3=0implies a-b=-3
Somando essas duas equações obtemos 2a=-6implies a=-3 e, em seguida, b=0. Logo
p(x)=-3x^2+3
Este é o único polinômio cuja imagem é (0,3,0).

Resposta

a) T(x^2+5x+6)=(2,6,12).
b) A pré-imagem de (0,3,0) sob T é o polinômio -3x^2+3.

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