Seja
um
-e.v. de dimensão finita e
um operador linear. Se
mostre que ou
é diagonalizável ou
é nilpotente.
Passo 1
O enunciado diz que V é um K[x]-módulo cíclico de dimensão finita e que a dimensão do radical de Jacobson J(T) desse módulo é 1. Pelo Teorema da Estrutura de Módulos sobre PID, podemos decompor V como soma direta de módulos cíclicos
, onde cada
é irreduzível em K[x].
O radical de Jacobson J(V) desse módulo é exatamente a soma dos submódulos . Em particular
O radical de Jacobson J(V) desse módulo é exatamente a soma dos submódulos
Passo 2
Pela hipótese
, só há duas maneiras de escrever 1 como soma de inteiros não-negativos
: ou
1) existe exatamente um índice i tal que e
, e para todo j≠i
, ou
2) não há nenhum fator repetido (ou seja, todos os ), mas isso daria soma zero, não 1, logo impossível.
1) existe exatamente um índice i tal que
2) não há nenhum fator repetido (ou seja, todos os
Passo 3
No caso (1), temos um só fator
de grau 1 repetido duas vezes, e todos os outros fatores são simples. Como
é linear, escrevemos
para algum
. Portanto o polinômio mínimo de T é
Passo 4
mas como só há um fator repetido e todos os outros aparecem só uma vez, o grau total do produto tem que coincidir com a dimensão de V. No entanto, para que o radical tenha dimensão 1, na prática só restam duas raízes (podendo coincidir) e grau 2. Logo o polinômio mínimo é ou
a) com
, ou
b) .
a)
b)
Passo 5
Se for (a), o polinômio mínimo tem raízes distintas e, por consequência, T é diagonalizável. Se for (b), então
ou seja,
Passo 6
com
. Em particular, quando
temos diretamente
, i.e. T é nilpotente. Mesmo que
, a parte não-semisimples de T é esse
nilpotente, e a única raiz do mínimo é
, o que força T a ser um operador da forma “escala + nilpotente” com índice de nilpotência 2.
Passo 7
Portanto, pela análise dos possíveis mínimos, concluímos que ou todas as raízes são simples (caso (a)) e T é diagonalizável, ou o mínimo é
(caso (b)) e T-
é nilpotente — em particular, para
, T é nilpotente.
Assim mostramos que se , então T ou é diagonalizável ou é (ou se reduz a) nilpotente.
Assim mostramos que se
Resposta
T é ou diagonalizável ou nilpotente.