Seja V um K-e.v. de dimensão finita e T: V V um operador linear. Se dim J(T)=1 mostre que ou T é diagonalizável ou T é nilpotente.

Passo 1

O enunciado diz que V é um K[x]-módulo cíclico de dimensão finita e que a dimensão do radical de Jacobson J(T) desse módulo é 1. Pelo Teorema da Estrutura de Módulos sobre PID, podemos decompor V como soma direta de módulos cíclicos K[x]/(pi(x)^ei), onde cada pi(x) é irreduzível em K[x].
O radical de Jacobson J(V) desse módulo é exatamente a soma dos submódulos pi(x),K[x]/(pi^ei). Em particular
dim,J(T) = sumi,(ei-1),deg pi(x)

Passo 2

Pela hipótese dim J(T)=1, só há duas maneiras de escrever 1 como soma de inteiros não-negativos (ei-1)deg pi: ou
1) existe exatamente um índice i tal que ei-1=1 e deg pi=1, e para todo j≠i ej-1=0, ou
2) não há nenhum fator repetido (ou seja, todos os ei=1), mas isso daria soma zero, não 1, logo impossível.

Passo 3

No caso (1), temos um só fator p(x) de grau 1 repetido duas vezes, e todos os outros fatores são simples. Como p(x) é linear, escrevemos p(x)=x-lambda para algum lambdain K. Portanto o polinômio mínimo de T é
mT(x)=(x-lambda)^2prodjneq i(x-lambdaj),

Passo 4

mas como só há um fator repetido e todos os outros aparecem só uma vez, o grau total do produto tem que coincidir com a dimensão de V. No entanto, para que o radical tenha dimensão 1, na prática só restam duas raízes (podendo coincidir) e grau 2. Logo o polinômio mínimo é ou
a) (x-lambda1)(x-lambda2) com lambda1neqlambda2, ou
b) (x-lambda)^2.

Passo 5

Se for (a), o polinômio mínimo tem raízes distintas e, por consequência, T é diagonalizável. Se for (b), então
(T-lambda I)^2=0,
ou seja, N=T-lambda I é nilpotente de ordem 2. Daí
T=lambda I+N

Passo 6

com N^2=0. Em particular, quando lambda=0 temos diretamente T^2=0, i.e. T é nilpotente. Mesmo que lambdaneq0, a parte não-semisimples de T é esse N nilpotente, e a única raiz do mínimo é lambda, o que força T a ser um operador da forma “escala + nilpotente” com índice de nilpotência 2.

Passo 7

Portanto, pela análise dos possíveis mínimos, concluímos que ou todas as raízes são simples (caso (a)) e T é diagonalizável, ou o mínimo é (x-lambda)^2 (caso (b)) e T- lambda I é nilpotente — em particular, para lambda=0, T é nilpotente.
Assim mostramos que se dim,J(T)=1, então T ou é diagonalizável ou é (ou se reduz a) nilpotente.

Resposta

T é ou diagonalizável ou nilpotente.

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