Para V espaço vetorial real de dimensão finita, uma involução em V é um operador linear varphi: V V tal que varphi^2= I. Dado um operador linear T: V V, sejam
Fix(T)=x in V: T(x)=x e A(T)=x in V: T(x)=-x
chamados subespaço de pontos fixos de T e subespaço antipodal de T, respectivamente. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
a Se varphi é uma involução, então det(varphi)=1.
b Se varphi1, varphi2 são involuções então lambda.
c Se lambda= pm 1 é autovalor de uma involução, então Se varphi1, varphi2.
d varphi1 circ varphi2 são involuções, então Se varphi é também uma involução.
e A(varphi)=S(I-varphi) é uma involução, então .

Passo 1

O enunciado pede para decidir a veracidade de cinco afirmações sobre involuções em um espaço vetorial real de dimensão finita. Vamos usar conceitos de autovalores, determinante, composição de operadores, núcleo e imagem.

Passo 2

a) Uma involução $\varphi^2 = I$ só pode ter autovalores que satisfazem $\lambda^2 = 1$, isto é, $\lambda = \pm 1$. O determinante de $\varphi$ é o produto de todos os seus autovalores e, portanto, pode ser $(-1)^k$ para algum \k\). Isso mostra que \det(\varphi)\) pode ser $+1$ ou $-1$, não necessariamente $+1$. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

b) Para $x \in V$, temos
se $x \in \operatorname{Fix}(\varphi_1 \circ \varphi_2)$, então $\varphi_1(\varphi_2(x)) = x$. Como $\varphi_1$ é involução (inversa de si mesma), aplicando $\varphi_1$ em ambos os lados dá $\varphi_2(x) = \varphi_1(x)$, ou seja, $x \in \ker(\varphi_1 - \varphi_2)$.
Reciprocamente, se $\varphi_1(x) = \varphi_2(x)$, então $\varphi_1(\varphi_2(x)) = \varphi_1(\varphi_1(x)) = x$, logo $x \in \operatorname{Fix}(\varphi_1 \circ \varphi_2)$. Assim, os dois subespaços coincidem e a afirmação é verdadeira.

Passo 4

c) Se $\lambda$ é autovalor de uma involução, temos
\varphi^2(v) = \lambda^2 v = v\ \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1\.
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

d) Em geral $ (\varphi_1 \circ \varphi_2)^2 = \varphi_1 \varphi_2 \varphi_1 \varphi_2 \neq I$ a menos que $\varphi_1$ e $\varphi_2$ comutem. Um contraexemplo clássico é a composição de duas reflexões em $\mathbb{R}^2$ cujos eixos formam um ângulo não reto: dá uma rotação, que não é involução. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 6

e) Na decomposição espectral de uma involução $\varphi$, temos
\displaystyle V = \operatorname{Fix}(\varphi) \oplus A(\varphi),
e também
\operatorname{Im}(I - \varphi) \\n\subseteq A(\varphi) \quad e \quad A(\varphi) \subseteq \operatorname{Im}(I - \varphi).
De fato, para \y \in A(\varphi)\) toma-se \x = y/2\ e obtém-se $ (I - \varphi)(x) = y$. Logo \operatorname{Im}(I - \varphi) = A(\varphi)\) e a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) Falsa; b) Verdadeira; c) Verdadeira; d) Falsa; e) Verdadeira.

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