Para
espaço vetorial real de dimensão finita, uma involução em
é um operador linear
tal que
I. Dado um operador linear
, sejam
chamados subespaço de pontos fixos de
e subespaço antipodal de
, respectivamente. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
a Se
é uma involução, então
.
b
são involuções então
.
c Se
é autovalor de uma involução, então
.
d
são involuções, então
é também uma involução.
e
é uma involução, então
.
a Se
b
c Se
d
e
Passo 1
O enunciado pede para decidir a veracidade de cinco afirmações sobre involuções em um espaço vetorial real de dimensão finita. Vamos usar conceitos de autovalores, determinante, composição de operadores, núcleo e imagem.
Passo 2
a) Uma involução $\varphi^2 = I$ só pode ter autovalores que satisfazem $\lambda^2 = 1$, isto é, $\lambda = \pm 1$. O determinante de $\varphi$ é o produto de todos os seus autovalores e, portanto, pode ser $(-1)^k$ para algum \k\). Isso mostra que \det(\varphi)\) pode ser $+1$ ou $-1$, não necessariamente $+1$. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
b) Para $x \in V$, temos
se $x \in \operatorname{Fix}(\varphi_1 \circ \varphi_2)$, então $\varphi_1(\varphi_2(x)) = x$. Como $\varphi_1$ é involução (inversa de si mesma), aplicando $\varphi_1$ em ambos os lados dá $\varphi_2(x) = \varphi_1(x)$, ou seja, $x \in \ker(\varphi_1 - \varphi_2)$.
Reciprocamente, se $\varphi_1(x) = \varphi_2(x)$, então $\varphi_1(\varphi_2(x)) = \varphi_1(\varphi_1(x)) = x$, logo $x \in \operatorname{Fix}(\varphi_1 \circ \varphi_2)$. Assim, os dois subespaços coincidem e a afirmação é verdadeira.
se $x \in \operatorname{Fix}(\varphi_1 \circ \varphi_2)$, então $\varphi_1(\varphi_2(x)) = x$. Como $\varphi_1$ é involução (inversa de si mesma), aplicando $\varphi_1$ em ambos os lados dá $\varphi_2(x) = \varphi_1(x)$, ou seja, $x \in \ker(\varphi_1 - \varphi_2)$.
Reciprocamente, se $\varphi_1(x) = \varphi_2(x)$, então $\varphi_1(\varphi_2(x)) = \varphi_1(\varphi_1(x)) = x$, logo $x \in \operatorname{Fix}(\varphi_1 \circ \varphi_2)$. Assim, os dois subespaços coincidem e a afirmação é verdadeira.
Passo 4
c) Se $\lambda$ é autovalor de uma involução, temos
\varphi^2(v) = \lambda^2 v = v\ \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1\.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
\varphi^2(v) = \lambda^2 v = v\ \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1\.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
d) Em geral $ (\varphi_1 \circ \varphi_2)^2 = \varphi_1 \varphi_2 \varphi_1 \varphi_2 \neq I$ a menos que $\varphi_1$ e $\varphi_2$ comutem. Um contraexemplo clássico é a composição de duas reflexões em $\mathbb{R}^2$ cujos eixos formam um ângulo não reto: dá uma rotação, que não é involução. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 6
e) Na decomposição espectral de uma involução $\varphi$, temos
\displaystyle V = \operatorname{Fix}(\varphi) \oplus A(\varphi),
e também
\operatorname{Im}(I - \varphi) \\n\subseteq A(\varphi) \quad e \quad A(\varphi) \subseteq \operatorname{Im}(I - \varphi).
De fato, para \y \in A(\varphi)\) toma-se \x = y/2\ e obtém-se $ (I - \varphi)(x) = y$. Logo \operatorname{Im}(I - \varphi) = A(\varphi)\) e a afirmação é verdadeira.
\displaystyle V = \operatorname{Fix}(\varphi) \oplus A(\varphi),
e também
\operatorname{Im}(I - \varphi) \\n\subseteq A(\varphi) \quad e \quad A(\varphi) \subseteq \operatorname{Im}(I - \varphi).
De fato, para \y \in A(\varphi)\) toma-se \x = y/2\ e obtém-se $ (I - \varphi)(x) = y$. Logo \operatorname{Im}(I - \varphi) = A(\varphi)\) e a afirmação é verdadeira.
Resposta
a) Falsa; b) Verdadeira; c) Verdadeira; d) Falsa; e) Verdadeira.