Se
é um
-e.v. de dimensão finita e
é um operador linear mostre que
se e somente se
e
diagonalizável.
Passo 1
O enunciado diz que em um espaço vetorial complexo de dimensão finita V temos um operador linear T. Precisamos mostrar que a condição
é equivalente a ter simultaneamente
e T diagonalizável. Vamos usar teoria de polinômio mínimo e valores próprios.
Passo 2
Supondo
, multiplicamos dos dois lados por
e obtemos
ou seja
Além disso, da igualdade
temos que o polinômio mínimo
divide
como todos os fatores são distintos, o polinômio mínimo não tem raízes múltiplas, logo T é diagonalizável.
Passo 3
Agora supondo que T seja diagonalizável e
, escrevemos T em base de autovetores com autovalores
. A condição em cada valor próprio é
$$
tlambda_i{2n}=\lambda_in \implies \lambda_in(\lambda_in-1)=0
\lambda_i{n+1}=\lambda_i\cdot\lambda_in=\lambda_i
$$
e assim T satisfaz em toda base, isto é, globalmente.
e assim T satisfaz
Passo 4
Juntando as duas implicações, concluímos a equivalência desejada.
Resposta
T^{n+1}=T se e somente se T{2n}=Tn e T é diagonalizável.