Se V é um C-e.v. de dimensão finita e T: V V é um operador linear mostre que T^n+1=T se e somente se T^2 n=T^n e T diagonalizável.

Passo 1

O enunciado diz que em um espaço vetorial complexo de dimensão finita V temos um operador linear T. Precisamos mostrar que a condição T^n+1=T é equivalente a ter simultaneamente T^2n=T^n e T diagonalizável. Vamos usar teoria de polinômio mínimo e valores próprios.

Passo 2

Supondo T^n+1=T, multiplicamos dos dois lados por T^n-1 e obtemos
T^n-1T^n+1=T^n-1T
ou seja
T^2n=T^n
Além disso, da igualdade T^n+1-T=0 temos que o polinômio mínimo mT(x) divide
x^n+1-x=x(x^n-1)=xprodk=0^n-1(x-e^2 i k/n) 
como todos os fatores são distintos, o polinômio mínimo não tem raízes múltiplas, logo T é diagonalizável.

Passo 3

Agora supondo que T seja diagonalizável e T^2n=T^n, escrevemos T em base de autovetores com autovalores lambdai. A condição em cada valor próprio é
$$
tlambda_i{2n}=\lambda_in \implies \lambda_in(\lambda_in-1)=0
tlambdai^2n=lambdai^n implies lambdai^n(lambdai^n-1)=0
\lambda_i{n+1}=\lambda_i\cdot\lambda_in=\lambda_i
$$
e assim T satisfaz lambdai=0 em toda base, isto é, globalmente.

Passo 4

Juntando as duas implicações, concluímos a equivalência desejada.

Resposta

T^{n+1}=T se e somente se T{2n}=Tn e T é diagonalizável.

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