Considere ( M, d ) um espaço métrico. Com base nisso, mostre que também são métricas em M as funções definidas do seguinte modo:
\gamma(x, y)=\frac{d(x, y)}{1+d(x, y)}.

Passo 1

O enunciado dá um espaço métrico (M,d) e define uma nova função
\gamma\colon M\times M \to [0,1),\quad \gamma(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}.
Queremos mostrar que \gamma satisfaz as três condições de métrica:
  1. Positividade e identidade dos indiscerníveis: \gamma(x,y)\ge0 e \gamma(x,y)=0 se, e somente se, x=y.
  2. Simetria: \gamma(x,y)=\gamma(y,x).
  3. Desigualdade triangular: \gamma(x,z)\le \gamma(x,y)+\gamma(y,z).

Passo 2

Vamos à positividade e identidade dos indiscerníveis.
  • Como d(x,y)\ge0, fica claro que \gamma(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}\ge0.
  • Além disso, \gamma(x,y)=0 implica \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}=0 \quad\Longrightarrow\quad d(x,y)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=y,e se x=y então d(x,y)=0 faz \gamma(x,y)=0.

Passo 3

A simetria decorre imediatamente da simetria de d:
\gamma(x,y) =\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} =\frac{d(y,x)}{1+d(y,x)} =\gamma(y,x).

Passo 4

Para a desigualdade triangular, note que, pela métrica d,
d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z).
Defina a função
f\colon [0,\infty)\to[0,1),\quad f(t)=\frac{t}{1+t}.
Calculamos sua segunda derivada para ver que é côncava:
f'(t)=\frac1{(1+t)^2}>0, \quad f''(t)=-\frac{2}{(1+t)^3}<0.
Como f é côncava e f(0)=0, vale a subaditividade
f(a+b)\le f(a)+f(b) \quad\text{para todo }a,b\ge0.
Aplicando com a=d(x,y) e b=d(y,z), obtemos
\gamma(x,z) =f\bigl(d(x,z)\bigr) \le f\bigl(d(x,y)+d(y,z)\bigr) \le f\bigl(d(x,y)\bigr)+f\bigl(d(y,z)\bigr) =\gamma(x,y)+\gamma(y,z).

Resposta

Portanto, \gamma satisfaz todos os axiomas de métrica em M, logo é de fato uma métrica.

Exercícios relacionados