Considere (
) um espaço métrico. Com base nisso, mostre que também são métricas em
as funções definidas do seguinte modo:
.
Passo 1
O enunciado dá um espaço métrico
e define uma nova função
Queremos mostrar que
satisfaz as três condições de métrica:
- Positividade e identidade dos indiscerníveis:
e se, e somente se, . - Simetria:
. - Desigualdade triangular:
.
Passo 2
Vamos à positividade e identidade dos indiscerníveis.
- Como
, fica claro que - Além disso,
implica e se então faz .
Passo 3
A simetria decorre imediatamente da simetria de
:
Passo 4
Para a desigualdade triangular, note que, pela métrica
,
Defina a função
Calculamos sua segunda derivada para ver que é côncava:
Como
é côncava e
, vale a subaditividade
Aplicando com
e
, obtemos
Resposta
Portanto,
satisfaz todos os axiomas de métrica em
, logo é de fato uma métrica.