Mostre que não são métricas as seguintes funções:
d: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por d(x, y)=\left|x_{1}-y_{1}\right|, para quaisquer x=\left(x_{1}, x_{2}\right) e y=\left(y_{1}, y_{2}\right) em \mathbb{R}^{2};

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
d\colon \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\qquad d\bigl((x_1,x_2),(y_1,y_2)\bigr)=\lvert x_1-y_1\rvert
não é uma métrica em \mathbb{R}^2. O conteúdo aqui é a definição de métrica e a busca de um contraexemplo que viole algum de seus axiomas.

Passo 2

Lembremos os axiomas que d deveria satisfazer para ser métrica em um espaço X:
(i) não‐negatividade: d(x,y)\ge 0 para todos x,y\in X;
(ii) identidade dos indiscerníveis: d(x,y)=0 se, e somente se, x=y;
(iii) simetria: d(x,y)=d(y,x);
(iv) desigualdade triangular:
d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)
para todos x,y,z\in X.

Passo 3

Verificamos rapidamente que para d(x,y)=|x_1-y_1|:
  • (i) vale pois valor absoluto é não‐negativo;
  • (iii) vale pois \lvert x_1-y_1\rvert=\lvert y_1-x_1\rvert;
  • (iv) vale pois
\lvert x_1-z_1\rvert \le \lvert x_1-y_1\rvert + \lvert y_1-z_1\rvert
é a desigualdade triangular do valor absoluto.
Porém (ii) falha: basta escolher
x=(0,0),\quad y=(0,1).
Então x\neq y, mas
d(x,y)=\lvert 0-0\rvert=0,
violando a condição de identidade dos indiscerníveis.

Passo 4

Como o axioma (ii) não se verifica, d não pode ser uma métrica em \mathbb{R}^2.

Resposta

A função d\bigl((x_1,x_2),(y_1,y_2)\bigr)=\lvert x_1-y_1\rvert não é métrica, pois existem pontos distintos com distância zero (por exemplo, (0,0) e (0,1)).

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