Mostre que não são métricas as seguintes funções:
definida por
, para quaisquer
e
em
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
não é uma métrica em
. O conteúdo aqui é a definição de métrica e a busca de um contraexemplo que viole algum de seus axiomas.
Passo 2
Lembremos os axiomas que
deveria satisfazer para ser métrica em um espaço
:
(i) não‐negatividade: para todos
;
(ii) identidade dos indiscerníveis: se, e somente se,
;
(iii) simetria: ;
(iv) desigualdade triangular:
(i) não‐negatividade:
(ii) identidade dos indiscerníveis:
(iii) simetria:
(iv) desigualdade triangular:
para todos
.
Passo 3
Verificamos rapidamente que para
:
- (i) vale pois valor absoluto é não‐negativo;
- (iii) vale pois
; - (iv) vale pois
é a desigualdade triangular do valor absoluto.
Porém (ii) falha: basta escolher
Porém (ii) falha: basta escolher
Então
, mas
violando a condição de identidade dos indiscerníveis.
Passo 4
Como o axioma (ii) não se verifica,
não pode ser uma métrica em
.
Resposta
A função
não é métrica, pois existem pontos distintos com distância zero (por exemplo,
e
).