Mostre que não são métricas as seguintes funções:
definida por
, para quaisquer
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que isso não é uma métrica. O conteúdo é a verificação dos axiomas de métrica em
.
Passo 2
Lembrando que
é métrica se, para quaisquer
, valem:
- (não-negatividade)
; - (identidade de indiscerníveis)
; - (simetria)
; - (desigualdade triangular)
.
Passo 3
Vamos checar as três primeiras propriedades:
- Como
, claramente , então a não-negatividade vale. - Temos
exatamente quando , isto é, , logo a identidade também vale. - E
implica , garantindo a simetria.
Passo 4
Sobrou a desigualdade triangular. Precisamos de
Mas isso não é verdade em geral. Por exemplo, tomemos
,
e
. Então
porém
e
. Assim a desigualdade triangular falha.
Resposta
A função
não satisfaz a desigualdade triangular e, portanto, não é uma métrica em
.