Mostre que não são métricas as seguintes funções:
d: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por d(x, y)=|x-y|^{2}, para quaisquer x, y \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define
d\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad d(x,y)=|x-y|^{2}
e pede para mostrar que isso não é uma métrica. O conteúdo é a verificação dos axiomas de métrica em \mathbb{R}.

Passo 2

Lembrando que d é métrica se, para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R}, valem:
  1. (não-negatividade) \;d(x,y)\ge0;
  2. (identidade de indiscerníveis) \;d(x,y)=0\iff x=y;
  3. (simetria) \;d(x,y)=d(y,x);
  4. (desigualdade triangular) \;d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z).

Passo 3

Vamos checar as três primeiras propriedades:
  • Como d(x,y)=|x-y|^{2}, claramente |x-y|^{2}\ge0, então a não-negatividade vale.
  • Temos |x-y|^{2}=0 exatamente quando |x-y|=0, isto é, x=y, logo a identidade também vale.
  • E |x-y|=|y-x| implica |x-y|^{2}=|y-x|^{2}, garantindo a simetria.

Passo 4

Sobrou a desigualdade triangular. Precisamos de
|x-z|^{2}\le |x-y|^{2}+|y-z|^{2}.
Mas isso não é verdade em geral. Por exemplo, tomemos x=0, y=1 e z=2. Então
d(0,2)=|0-2|^{2}=4,
porém
d(0,1)+d(1,2)=|0-1|^{2}+|1-2|^{2}=1+1=2,
e 4\not\le2. Assim a desigualdade triangular falha.

Resposta

A função d(x,y)=|x-y|^{2} não satisfaz a desigualdade triangular e, portanto, não é uma métrica em \mathbb{R}.

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