Suponha que o vetor aceleração de uma partícula, seja dada pela função vetorial
a: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad a(t)=\left(e^{t},(t-1)^{4}\right)
para cada t \in \mathbb{R}. No instante t=0, a partícula encontrava-se no ponto P_{0}=(1,1), e sua velocidade, nesse mesmo instante, era v=(1,2). Em que ponto a partícula estará em t=20 segundos?

Passo 1

O enunciado nos dá a aceleração vetorial da partícula
a(t)=\bigl(e^{t},(t-1)^{4}\bigr),
com as condições iniciais em t=0:
posição r(0)=P_{0}=(1,1) e velocidade v(0)=(1,2).
Para achar a posição em t=20, vamos integrar a(t) para obter v(t) e depois integrar v(t) para obter r(t), aplicando as condições iniciais.

Passo 2

Integramos a(t) de 0 a t para achar v(t):
v(t)=v(0)+\int_{0}^{t}a(s)\,ds.
Calculamos as componentes:
\int_{0}^{t}e^{s}\,ds=e^{t}-1,
\int_{0}^{t}(s-1)^{4}\,ds =\left.\frac{(s-1)^{5}}{5}\right|_{0}^{t} =\frac{(t-1)^{5}}{5}-\Bigl(-\frac{1}{5}\Bigr) =\frac{(t-1)^{5}}{5}+\frac{1}{5}.
Assim,
v(t) =(1,2)+\Bigl(e^{t}-1,\;\frac{(t-1)^{5}}{5}+\frac{1}{5}\Bigr) =\bigl(e^{t},\,2+\tfrac{(t-1)^{5}}{5}+\tfrac{1}{5}\bigr).

Passo 3

Agora integramos v(t) de 0 a t para obter r(t):
r(t)=r(0)+\int_{0}^{t}v(s)\,ds.
Para a componente x:
\int_{0}^{t}e^{s}\,ds=e^{t}-1,
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x(t)=1+(e^{t}-1)=e^{t}.
Para a componente y: escrevemos
v_{y}(s)=2+\frac{(s-1)^{5}}{5}+\frac{1}{5} =\frac{(s-1)^{5}+1}{5}+2
e integramos:
\int_{0}^{t}v_{y}(s)\,ds =\int_{0}^{t}\!\frac{(s-1)^{5}}{5}ds +\int_{0}^{t}\!\frac{1}{5}ds +\int_{0}^{t}2\,ds.
Calculamos cada termo:
\int_{0}^{t}(s-1)^{5}ds =\frac{(t-1)^{6}-1}{6}, \quad \int_{0}^{t}\!ds=t, \quad \int_{0}^{t}2\,ds=2t.
Portanto
\int_{0}^{t}v_{y}(s)\,ds =\frac{1}{5}\cdot\frac{(t-1)^{6}-1}{6} +\frac{t}{5} +2t =\frac{(t-1)^{6}-1}{30}+\frac{t}{5}+2t.
Somando r_{y}(0)=1, obtemos
y(t) =1+\frac{(t-1)^{6}-1}{30}+\frac{t}{5}+2t =\frac{(t-1)^{6}+29+66t}{30}.

Passo 4

Avaliamo em t=20. Para x:
x(20)=e^{20}.
Para y: note que 20-1=19 e
19^{6}=47\,045\,881,
então
y(20) =\frac{47\,045\,881+29+66\cdot20}{30} =\frac{47\,045\,881+29+1320}{30} =\frac{47\,047\,230}{30} =1\,568\,241.

Resposta

\bigl(x(20),y(20)\bigr)=\bigl(e^{20},\,1\,568\,241\bigr).

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