Considere o espaço
dos polinomios de grau menor ou igual a ‘a’ e
o espaço dols polinomios de grau menor ou igual a ’
'. Pergunta-se:
é subespaço de
? Por que?
Passo 1
O enunciado define dois espaços vetoriais sobre um corpo (por exemplo
ou
):
– é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a
.
– é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a
.
A pergunta é: é subespaço de
?
Conteúdo: saber quando um espaço de polinômios está contido noutro e verificar as propriedades de subespaço.
–
–
A pergunta é:
Conteúdo: saber quando um espaço de polinômios está contido noutro e verificar as propriedades de subespaço.
Passo 2
Recordando a definição: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
-
(por exemplo contém o polinômio zero). -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e é escalar então .
Aqui ambose já são espaços vetoriais completos, logo basta mostrar inclusão de conjuntos e herança automática da estrutura.
Passo 3
Verificamos a inclusão
. Seja
. Então o grau de
satisfaz
Para garantirmos que
precisamos de
Logo, toda vez que
temos
isto é,
.
Passo 4
Concluímos então:
- Se
então e, por herança das propriedades de soma e multiplicação escalar, é subespaço de . - Se
, basta pegar um polinômio de grau exatamente (por exemplo ) que pertence a mas não a , mostrando que não há inclusão.