Considere o espaço P_{a} dos polinomios de grau menor ou igual a ‘a’ e P_{b} o espaço dols polinomios de grau menor ou igual a ’ b '. Pergunta-se: P_{a} é subespaço de P_{b} ? Por que?

Passo 1

O enunciado define dois espaços vetoriais sobre um corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}):
P_{a} é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a \,a.
P_{b} é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a \,b.
A pergunta é: P_{a} é subespaço de P_{b}?
Conteúdo: saber quando um espaço de polinômios está contido noutro e verificar as propriedades de subespaço.

Passo 2

Recordando a definição: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. W\neq\varnothing (por exemplo contém o polinômio zero).
  2. W é fechado sob soma: se p,q\in W então p+q\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se p\in W e \lambda é escalar então \lambda p\in W.
    Aqui ambos P_{a} e P_{b} já são espaços vetoriais completos, logo basta mostrar inclusão de conjuntos e herança automática da estrutura.

Passo 3

Verificamos a inclusão P_{a}\subseteq P_{b}. Seja p(x)\in P_{a}. Então o grau de p satisfaz
\deg(p)\le a.
Para garantirmos que p\in P_{b} precisamos de
\deg(p)\le b.
Logo, toda vez que a\le b temos
\deg(p)\le a\le b \quad\Longrightarrow\quad p\in P_{b},
isto é, P_{a}\subseteq P_{b}.

Passo 4

Concluímos então:
  • Se a\le b então P_{a}\subseteq P_{b} e, por herança das propriedades de soma e multiplicação escalar, P_{a} é subespaço de P_{b}.
  • Se a>b, basta pegar um polinômio de grau exatamente a (por exemplo x^{a}) que pertence a P_{a} mas não a P_{b}, mostrando que não há inclusão.

Resposta

P_{a} é subespaço de P_{b} se, e somente se, a\le b, pois assim todo polinômio de grau \le a também tem grau \le b.

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