3-Dados os vetores \mathrm{w} \mathrm{l}=(0, \mathrm{a}, 0,0), \quad \mathrm{w} 2=(\mathrm{b}, 0,0,0), \mathrm{w} 3=(0,-1, \mathrm{c}, 0) e \mathrm{w} 4=(0,1,-1, \mathrm{~b}-1). Pergunta-se: [\mathrm{w} 1, \mathrm{w} 2, \mathrm{w} 3, \mathrm{w} 4] é uma base de R^{4} ? Por que?

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^4:
w_1=(0,a,0,0),\quad w_2=(b,0,0,0),\quad w_3=(0,-1,c,0),\quad w_4=(0,1,-1,b-1),
e pergunta se \{w_1,w_2,w_3,w_4\} é base de \mathbb{R}^4. Para isso, basta verificar se são linearmente independentes, o que em \mathbb{R}^4 equivale a checar se a matriz formada por eles tem determinante não nulo.

Passo 2

Formamos a matriz M cujas colunas são w_1,w_2,w_3,w_4:
M = \begin{pmatrix} 0 & b & 0 & 0 \\\ a & 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & c & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & b-1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular \det(M)$, expandimos ao longo da primeira linha. O único elemento não nulo na linha 1 é \(M_{1,2}=b. Logo,
\det(M) = (-1)^{1+2}\,b\;\det\begin{pmatrix} a & -1 & 1\\\\ 0 & c & -1\\\\ 0 & 0 & b-1 \end{pmatrix} = -\,b\;\det(N),
onde N é a submatriz 3\times3.)

Passo 4

A submatriz
N=\begin{pmatrix} a & -1 & 1\\\\ 0 & c & -1\\\\ 0 & 0 & b-1 \end{pmatrix}
é triangular, então o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal:
\det(N)=a\cdot c\cdot(b-1).

Passo 5

Substituindo em \det(M) obtemos
\det(M)=-\,b\;\bigl(a\,c\,(b-1)\bigr)=-a\,b\,c\,(b-1).
Portanto, \det(M)\neq0 se, e somente se, a\neq0, b\neq0, c\neq0 e b-1\neq0.

Resposta

\{w_1,w_2,w_3,w_4\} é base de \mathbb{R}^4 se, e somente se,
a\neq0,\quad b\neq0,\quad c\neq0,\quad b\neq1,
ou seja, exatamente quando a\,b\,c\,(b-1)\neq0.

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