2- Sejam os vetores u 1=(1,0, a), u 2=(0, b, 0) e u 3=(-c, 0,0). Pergunta-se: [u 1, u 2, u 3] é uma base de R^{3} ? Por que?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \displaystyle u_1=(1,0,a),\quad u_2=(0,b,0),\quad u_3=(-c,0,0)
e pergunta se eles formam uma base de \mathbb R^3.
O conteúdo é verificar independência linear e geração de \mathbb R^3, o que em \mathbb R^3 equivale a checar se o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é não nulo.

Passo 2

Formamos a matriz M com colunas iguais a u_1,u_2,u_3:
M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -c\\\\ 0 & b & 0\\\ a & 0 & 0 \end{pmatrix}

Passo 3

Lembrando que três vetores em \mathbb R^3 formam base se, e somente se, \det M \neq 0. Então basta calcular \det M.

Passo 4

Usando expansão de Laplace,
\det M =1\cdot(b\cdot0-0\cdot0) -0\cdot(0\cdot0-(-c)\cdot a) +(-c)\cdot(0\cdot0 - b\cdot a) = a\,b\,c.

Passo 5

Como \det M = a\,b\,c, concluímos que os vetores são linearmente independentes (e portanto formam base) se, e somente se,
a\,b\,c \neq 0.

Resposta

O conjunto [u_1,u_2,u_3] é base de \mathbb R^3 exatamente quando a\,b\,c \neq 0.

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