Imagine agora que m, m^{\prime} não se interseccionam (mais tarde chamaremos isso de “paralelas”). Denote por P^{-}e P^{+}os dois semiplanos determinados por m. Esboce m como sendo uma reta horizontal, de modo que P^{-}é o que está “abaixo” e P^{+}é o que está “acima” de m.
(a) Mostre que m^{\prime} está inteiramente contida em um dos semiplanos P^{-} ou P^{+}.
(b) Suponha que m^{\prime} \subset P^{+}. (e faça um esboço). Denote por Q^{+}o semiplano determinado por m^{\prime} que não contém m e por Q^{-}o semiplano determinado por m^{\prime} que contém m. Descreva geometricamente cada uma das intersecções:
i. P^{+} \cap Q^{-}
ii. P^{+} \cap Q^{+}
iii. P^{-} \cap Q^{+}.

Passo 1

O enunciado considera duas retas distintas m e m' no plano que não se intersectam (ou seja, são paralelas). A reta m está representada horizontalmente, dividindo o plano em dois semiplanos: \;P^{-} (a região abaixo de m) \;P^{+} (a região acima de m)
Precisamos mostrar que
(a) a reta m' fica inteiramente em um dos semiplanos P^{-} ou P^{+};
(b) supondo m'\subset P^{+}, definindo em torno de m' os semiplanos \;Q^{-} (que contém m) \;Q^{+} (que não contém m),
descrever geometricamente
i. \;P^{+}\cap Q^{-},
ii. \;P^{+}\cap Q^{+},
iii. \;P^{-}\cap Q^{+}.

Passo 2

Prova de (a) por contradição. Suponha que m' tenha um ponto A\in P^{-} e outro B\in P^{+}. Como m' é contínua, o segmento \overline{AB}\subset m' teria de atravessar m em algum ponto C. Mas isso contradiz a hipótese de que m e m' não se intersectam. Logo, m' não pode ter pontos dos dois lados de m e deve ficar inteiramente em ou só em P^{-} ou só em P^{+}.

Passo 3

Agora (b): suponha m'\subset P^{+}. Desenhamos m horizontal e m' acima dela. O semiplano Q^{-} é o lado de m' que contém m (isto é, tudo abaixo de m'), e Q^{+} é o lado de m' que não contém m (tudo acima de m').

Passo 4

Descrevendo cada uma das intersecções:
i. P^{+}\cap Q^{-}
É o conjunto dos pontos acima de m e ao mesmo tempo abaixo de m'. Geometricamente, é a faixa infinita entre as retas paralelas m e m'.
ii. P^{+}\cap Q^{+}
É o conjunto dos pontos que estão acima de m (porque P^{+}) e acima de m' (porque Q^{+}). Como Q^{+} já fica inteiramente em P^{+}, essa interseção é simplesmente o semiplano acima de m'.
iii. P^{-}\cap Q^{+}
É o conjunto de pontos abaixo de m e ao mesmo tempo acima de m'. Mas m' está acima de m, então não existe ponto que fique simultaneamente abaixo de m e acima de m'. Logo,
P^{-}\cap Q^{+} = \varnothing.

Resposta

i. P^{+}\cap Q^{-} é a faixa infinita entre m e m'.
ii. P^{+}\cap Q^{+} é o semiplano acima de m'.
iii. P^{-}\cap Q^{+} = \varnothing.

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