Exercício 11. Determine matrizes X e Y tais que A X=B e Y A=B, sendo
A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 3 & -2 \\\\ 4 & -1 & 3 \\\\ -2 & 1 & -2 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar matrizes X e Y que satisfazem
A\,X = B \quad\text{e}\quad Y\,A = B,
onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2\\\\ 4 & -1 & 3\\\\ -2 & 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Como A é quadrada e esperamos resolvê-la por inversão, vamos verificar se \det A\neq 0 e então usar
X = A^{-1}B, \quad Y = B\,A^{-1}.

Passo 2

Calcular \det A. Usando expansão pela primeira linha:
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&3\\\ 1&-2\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}4&3\\\ -2&-2\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}4&-1\\\ -2&1\end{pmatrix}.
Cada determinante 2×2 é
\det\begin{pmatrix}-1&3\\\ 1&-2\end{pmatrix} =(-1)(-2)-3\cdot1=-1,
\det\begin{pmatrix}4&3\\\ -2&-2\end{pmatrix} =4(-2)-3(-2)=-8+6=-2,
\det\begin{pmatrix}4&-1\\\ -2&1\end{pmatrix} =4\cdot1-(-1)(-2)=4-2=2.
Logo
\det A =1\cdot(-1)-3\cdot(-2)+(-2)\cdot2 =-1+6-4=1\neq0.
Isto garante que A é invertível.

Passo 3

Calcular A^{-1} por matriz de cofatores. A matriz dos cofatores de A é
C=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2\\\\ 4 & -6 & -7\\\\ 7 & -11 & -13 \end{pmatrix},
então a adjunta é C^{T} e, como \det A=1, vale
A^{-1} = \adj(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 7\\\\ 2 & -6 & -11\\\\ 2 & -7 & -13 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular X = A^{-1}B. Fazendo a multiplicação
X = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 7\\\\ 2 & -6 & -11\\\\ 2 & -7 & -13 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 8 & -3\\\\ 8 & -13 & 5\\\\ 9 & -15 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular Y = B\,A^{-1}. Fazendo
Y = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 4 & 7\\\\ 2 & -6 & -11\\\\ 2 & -7 & -13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 10 & 18\\\\ 3 & -11 & -20\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

X = \begin{pmatrix} -5 & 8 & -3\\\\ 8 & -13 & 5\\\\ 9 & -15 & 6 \end{pmatrix},
\quad
Y = \begin{pmatrix} -3 & 10 & 18\\\\ 3 & -11 & -20\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

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