Considere em (espaço dos polinômios de grau ) o conjunto .
O conjunto gera ?
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial dos polinômios de grau , que tem dimensão
e o subconjunto
A pergunta é se gera (ou seja, se ).
Passo 2
Em todo espaço vetorial de dimensão , para um conjunto gerar o espaço é preciso ter pelo menos vetores. Aqui , mas só tem 2 elementos. Logo tem dimensão no máximo 2, e não pode ser todo um espaço de dimensão 3. Portanto não gera .
Passo 3
Podemos ver isso também tentando escrever um polinômio genérico
como combinação linear
Comparando coeficientes obtém-se o sistema
que implica alpha=b e beta=-c, e então
a = alpha+beta = b + (-c) = b - c
Ou seja, só podemos gerar aqueles polinômios cujos coeficientes satisfaçam a = b - c. Por exemplo, não há como obter t^2 puro (que corresponderia a (a,b,c)=(0,0,1)), pois exigiria 0 = 0 - 1, impossível.