Considere em P2(R) (espaço dos polinômios de grau <= 2 ) o conjunto S=1+t, 1-t^2.
O conjunto S gera P2(R) ?

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial P2(R) dos polinômios de grau <=2, que tem dimensão
diml(P2(R)r)=3,
e o subconjunto
S=,1+t,;1-t^2
A pergunta é se S gera (ou seja, se spanS=P2(R)).

Passo 2

Em todo espaço vetorial de dimensão n, para um conjunto gerar o espaço é preciso ter pelo menos n vetores. Aqui dim(P2(R))=3, mas S só tem 2 elementos. Logo spanS tem dimensão no máximo 2, e não pode ser todo um espaço de dimensão 3. Portanto S não gera P2(R).

Passo 3

Podemos ver isso também tentando escrever um polinômio genérico
p(t)=a + b,t + c,t^2
como combinação linear
alpha,(1+t);+;beta,(1-t^2) =;(alpha+beta);+;alpha,t;-;beta,t^2
Comparando coeficientes obtém-se o sistema
alpha+beta = a, alpha = b, -beta = c,
que implica alpha=b e beta=-c, e então
a = alpha+beta = b + (-c) = b - c
Ou seja, só podemos gerar aqueles polinômios cujos coeficientes satisfaçam a = b - c. Por exemplo, não há como obter t^2 puro (que corresponderia a (a,b,c)=(0,0,1)), pois exigiria 0 = 0 - 1, impossível.

Resposta

Não, S não gera P2(R).

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