Sejam
um espaço vetorial sobre o corpo
e
um isomorfismo de
e
um autovetor de
associado a um autovalor
. Mostre que
é um autovetor do isomorfismo inverso
com autovalor
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um isomorfismo (isto é, uma aplicação linear bijetiva) sobre o corpo
, e que existe um vetor não nulo
tal que
para algum escalar
. O objetivo é mostrar que
também é autovetor de
e que o autovalor correspondente é
. Vamos usar apenas a definição de inversa de uma aplicação linear e a linearidade de
.
Passo 2
Como
é autovetor de
, temos
Além disso, por
ser isomorfismo,
(autovalores de transformações invertíveis são não nulos).
Passo 3
Aplicando
aos dois lados da igualdade
obtemos
Pela propriedade de inversa segue
, e pela linearidade de
temos
Logo
Passo 4
Bastou isolar
. Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Isso mostra exatamente que
é autovetor de
com autovalor
.