Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K e T um isomorfismo de V e v um autovetor de T associado a um autovalor lambda. Mostre que v é um autovetor do isomorfismo inverso T^-1 com autovalor 1lambda.

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon Vto V é um isomorfismo (isto é, uma aplicação linear bijetiva) sobre o corpo K, e que existe um vetor não nulo vin V tal que
T(v)=lambda,v
para algum escalar lambdainK. O objetivo é mostrar que v também é autovetor de T^-1 e que o autovalor correspondente é tfrac1lambda. Vamos usar apenas a definição de inversa de uma aplicação linear e a linearidade de T^-1.

Passo 2

Como v é autovetor de T, temos
T(v)=lambda,v
Além disso, por T ser isomorfismo, lambdaneq 0 (autovalores de transformações invertíveis são não nulos).

Passo 3

Aplicando T^-1 aos dois lados da igualdade
T(v)=lambda,v,
obtemos
T^-1l(T(v)r)=T^-1(lambda,v)
Pela propriedade de inversa segue T^-1(T(v))=v, e pela linearidade de T^-1 temos
T^-1(lambda,v)=lambda,T^-1(v)
Logo
v=lambda,T^-1(v)

Passo 4

Bastou isolar T^-1(v). Dividindo ambos os lados por lambda, obtemos
T^-1(v)=1lambda,v
Isso mostra exatamente que v é autovetor de T^-1 com autovalor tfrac1lambda.

Resposta

v é autovetor de T^-1 com autovalor 1lambda.

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