Sharpness da desigualdade de Chebyshev
Para cada t >= 1, construa uma variável aleatória X com média mu e variância sigma^2, e tal que a desigualdade de Chebyshev se torna uma igualdade:
P(|X-mu| >= t sigma)=1t^2

Passo 1

Estamos lidando com a desigualdade de Chebyshev, que afirma que para qualquer variável aleatória com média mu e variância sigma^2 e para todo t>=1 vale
Pl(|X-mu|>= tsigmar)<=1t^2
Queremos construir um exemplo em que essa desigualdade vire igualdade.

Passo 2

Uma construção padrão é usar uma distribuição discreta concentrada em três pontos: no ponto central mu e em dois extremos simétricos mupm tsigma. Definimos
P(X=mu+tsigma)=12t^2,
P(X=mu-tsigma)=12t^2,
P(X=mu)=1-1t^2
Essa escolha costuma “tocar” a desigualdade de Chebyshev.

Passo 3

Vamos verificar que a média de X é de fato mu. Calculamos
[
E[X]
=(\mu+t\sigma)\frac1{2t2}+(\mu-t\sigma)\frac1{2t2}+\mu\Bigl(1-\frac1{t^2}\Bigr)
=\mu\Bigl(\frac1{2t2}+\frac1{2t2}+1-\frac1{t^2}\Bigr)
=\mu.

Passo 4

Agora conferimos a variância. Primeiro o segundo momento central:
El[(X-mu)^2r] =(tsigma)^212t^2+(tsigma)^212t^2+0^2l(1-1t^2r) =t^2sigma^22t^2+t^2sigma^22t^2 =sigma^2
Como a média é mu, essa expressão já é a variância.

Passo 5

Por fim, calculamos a probabilidade do evento crítico:
Pl(|X-mu|>= tsigmar) =P(X=mu+tsigma)+P(X=mu-tsigma) =12t^2+12t^2 =1t^2
Isso mostra que, com essa construção, a desigualdade de Chebyshev se torna igualdade.

Resposta

Para cada t>=1, tome
P(X=mu+tsigma)=12t^2, P(X=mu-tsigma)=12t^2, P(X=mu)=1-1t^2
Então E[X]=mu, Var(X)=sigma^2 e
P(|X-mu|>= tsigma)=1/t^2, atingindo igualdade em Chebyshev.

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