Sharpness da desigualdade de Chebyshev
Para cada
, construa uma variável aleatória
com média
e variância
, e tal que a desigualdade de Chebyshev se torna uma igualdade:
Para cada
Passo 1
Estamos lidando com a desigualdade de Chebyshev, que afirma que para qualquer variável aleatória com média
e variância
e para todo
vale
Queremos construir um exemplo em que essa desigualdade vire igualdade.
Passo 2
Uma construção padrão é usar uma distribuição discreta concentrada em três pontos: no ponto central
e em dois extremos simétricos
. Definimos
Essa escolha costuma “tocar” a desigualdade de Chebyshev.
Passo 3
Vamos verificar que a média de
é de fato
. Calculamos
[
E[X]
=(\mu+t\sigma)\frac1{2t2}+(\mu-t\sigma)\frac1{2t2}+\mu\Bigl(1-\frac1{t^2}\Bigr)
=\mu\Bigl(\frac1{2t2}+\frac1{2t2}+1-\frac1{t^2}\Bigr)
=\mu.
E[X]
=(\mu+t\sigma)\frac1{2t2}+(\mu-t\sigma)\frac1{2t2}+\mu\Bigl(1-\frac1{t^2}\Bigr)
=\mu\Bigl(\frac1{2t2}+\frac1{2t2}+1-\frac1{t^2}\Bigr)
=\mu.
Passo 4
Agora conferimos a variância. Primeiro o segundo momento central:
Como a média é
, essa expressão já é a variância.
Passo 5
Por fim, calculamos a probabilidade do evento crítico:
Isso mostra que, com essa construção, a desigualdade de Chebyshev se torna igualdade.
Resposta
Para cada
, tome
Então
,
e
, atingindo igualdade em Chebyshev.