Considere o espaço V=C^0[1,2], com o produto interno usual. Calcule o produto interno de u(x)=x e v(x)=ln (x). Calcule a norma de u(x)=x.

Passo 1

O enunciado define o espaço V=C^0[1,2] com o produto interno usual
lang<= f,grang<= = integral1^2f(x),g(x),dx
Queremos calcular
  1. lang<= u,vrang<= para u(x)=x e v(x)=ln(x).
  2. |u|, a norma de u(x)=x, dada por |u|=raizlang<= u,urang<=.

Passo 2

Para o produto interno,
lang<= u,vrang<= = integral1^2 x,ln(x),dx
Usamos integração por partes com
&escolha , U = ln(x) implies dU = tfrac1xdx, dV = x,dx implies V = tfracx^22
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integral xln(x),dx = x^22ln(x) - integral x^22cdot1x,dx = x^22ln(x) - integral x2,dx = x^22ln(x) - x^24 + C
Avaliando de 1 a 2,
lang<= u,vrang<= = l[x^22ln(x)-x^24r]1^2 = l(2ln(2)-1r)-l(0-tfrac14r) = 2ln(2)-tfrac34

Passo 3

Para a norma de u,
|u| = raizlang<= u,urang<= = raizintegral1^2x^2,dx = raizl[x^33r]1^2 = raiz8-13 = raiz73

Resposta

lang<= u,vrang<= = 2ln(2)-34
|u| = raiz73

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