É muitas vezes útil saber expressar um subespaço vetorial W de R^n como o conjunto solução de algum sistema linear homogêneo em n variáveis (isto permite, por exemplo, decidir de maneira rápida se um dado vetor v in R^n está ou não em W ).
Faça isto para cada subespaço vetorial W subset R^n abaixo, isto é, encontre um sistema linear homogêneo em n variáveis cujo conjunto solução seja igual a W :
(a) W1 subset R^4 dado por W1=>=r[v1, v2, v3], onde v1=(0,1,-1,0), v2=(1,2,0,-1), v3=(2,1,1,2).

Passo 1

O enunciado pede para escrever
W1=>=rv1,v2,v3subsetR^4
como o conjunto solução de um sistema linear homogêneo em quatro variáveis.
O conteúdo envolvido é a relação entre subespaço e seu complemento ortogonal: se
W1^perp=winR^4mid wcdot vi=0 forall i,
então
W1=xinR^4mid wcdot x=0 forall winW1^perp.

Passo 2

Seja w=(w1,w2,w3,w4). Impor wcdot vi=0 para i=1,2,3 dá o sistema
w2-w3=0, w1+2w2-w4=0, 2w1+w2+w3+2w4=0

Passo 3

Da primeira equação obtemos w3=w2. Substituindo na segunda vem
w1=w4-2w2
Na terceira, usando w3=w2 e w1=w4-2w2,
2(w4-2w2)+w2+w2+2w4=0 Longrightarrow 4w4-2w2=0 Longrightarrow w2=2w4
Logo
w2=2w4, w3=2w4, w1=w4-2cdot2w4=-3w4
Isto mostra que W1^perp é gerado por (-3,2,2,1).

Passo 4

Como W1^perp=>=r(-3,2,2,1), um vetor
x=(x1,x2,x3,x4) pertence a W1 se, e somente se,
(-3,2,2,1)cdot(x1,x2,x3,x4)=0,
isto é
-3x1+2x2+2x3+x4=0

Resposta

O sistema linear homogêneo cuja solução é exatamente W1 é
-3x1+2x2+2x3+x4=0

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