A distância entre dois vetores u e v em um espaço vetorial E com uma norma |cdot| é definida como:
d(u, v)=|u-v|
Em cada um dos itens abaixo determinar d(u, v).
V=P2(R), com o produto interno usual, u=1+t, v=34 t+3 t^2.

Passo 1

O espaço é V=P2(R) com o produto interno usual nos coeficientes: se
p(t)=a0+a1t+a2t^2, q(t)=b0+b1t+b2t^2,
então
lang<= p,qrang<= = a0b0 + a1b1 + a2b2,
e a norma é |p|=raizlang<= p,prang<=. Temos
u(t)=1+t(coeficientes (1,1,0)),
v(t)=tfrac34 t + 3t^2(coeficientes (0,tfrac34,3))
Vamos calcular d(u,v)=|u-v|.

Passo 2

Subtraindo os polinômios componente a componente:
u(t)-v(t) = l(1-0r) + l(1-tfrac34r)t + l(0-3r)t^2 = 1 + tfrac14,t - 3,t^2
Os coeficientes de u-v são l(1,tfrac14,-3r).

Passo 3

Aplicando o produto interno em si mesmo:
lang<= u-v,,u-vrang<= = 1^2 + l(tfrac14r)^2 + (-3)^2 = 1 + tfrac116 + 9 = tfrac16116

Passo 4

A norma é a raiz desse valor:
|u-v| = raizlang<= u-v,,u-vrang<= = raiztfrac16116 = raiz1614

Resposta

d(u,v)=|u-v|=raiz1614

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