Considere o espaço vetorial M2(R).
O conjunto B=(cc1 & -1 0 & 0),(cc0 & 1 0 & -1),(cc-1 & 0 0 & 1),(ll1 & 1 1 & 0) é uma base de M2(R) sobre R ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B=A1,A2,A3,A4subset M2(R), onde
A1=1 & -10 & 0,; A2=0 & 10 & -1,; A3=-1 & 00 & 1,; A4=1 & 11 & 0,
é uma base de M2(R). Como dim M2(R)=4, basta mostrar que esses quatro vetores são linearmente independentes (ou dependentes).

Passo 2

Suponha que exista uma combinação linear que dê a matriz zero, isto é, coeficientes a,b,c,dinR tais que
aA1 + bA2 + cA3 + dA4 = 0&00&0
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
a - c + d = 0, -,a + b + d = 0, d = 0, -,b + c = 0

Passo 3

Da terceira equação vem imediatamente d=0.
Da quarta equação segue c=b.
Substituindo em
,a - c + d = 0 obtemos a - b = 0, ou seja a=b.
E em
-a + b + d = 0 também dá -a+b=0, isto é a=b.
Logo a família admite soluções não-triviais a=b=cneq0 e d=0. Isso mostra que B é linearmente dependente.

Passo 4

Como B não é linearmente independente, não pode ser base de M2(R).

Resposta

Não, B não é uma base de M2(R) porque seus vetores são linearmente dependentes.

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