Encontre, se possível, uma base para o
que contenha os vetores
e
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos uma base de
que contenha os vetores
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais: teste de independência linear e extensão de um conjunto independente a uma base.
Passo 2
Testamos a independência de
resolvendo
Isso gera o sistema
Da primeira equação segue
e a segunda dá
, logo
. Portanto
e
são independentes.
Passo 3
Como temos dois vetores independentes em
, faltam mais dois para completar uma base. Podemos escolher vetores da base canônica que não estejam no span de
. Por exemplo, seja
Passo 4
Verificamos que
é independente. Suponha
Da primeira e segunda coordenadas vem
e
,
logo .
Da terceira coordenada segue e da quarta
.
Assim só existe a combinação trivial, provando a independência dos quatro.
logo
Da terceira coordenada segue
Assim só existe a combinação trivial, provando a independência dos quatro.
Resposta
Uma base de
que contém
e
é