Encontre, se possível, uma base para o R^4 que contenha os vetores (1,1,1,1) e (-1,2,1,1).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos uma base de R^4 que contenha os vetores
v1 = (1,1,1,1) e v2 = (-1,2,1,1)
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais: teste de independência linear e extensão de um conjunto independente a uma base.

Passo 2

Testamos a independência de v1,v2 resolvendo
alpha,v1 + beta,v2 = (0,0,0,0)
Isso gera o sistema
alpha - beta = 0, alpha + 2beta = 0
Da primeira equação segue alpha=beta e a segunda dá 3alpha=0, logo alpha=beta=0. Portanto v1 e v2 são independentes.

Passo 3

Como temos dois vetores independentes em R^4, faltam mais dois para completar uma base. Podemos escolher vetores da base canônica que não estejam no span de v1,v2. Por exemplo, seja
v3 = (0,0,1,0), v4 = (0,0,0,1)

Passo 4

Verificamos que v1,v2,v3,v4 é independente. Suponha
alpha1 v1 + alpha2 v2 + alpha3 v3 + alpha4 v4 = (0,0,0,0)
Da primeira e segunda coordenadas vem
alpha1 - alpha2 = 0 e alpha1 + 2alpha2 = 0,
logo alpha1=alpha2=0.
Da terceira coordenada segue alpha3=0 e da quarta alpha4=0.
Assim só existe a combinação trivial, provando a independência dos quatro.

Resposta

Uma base de R^4 que contém (1,1,1,1) e (-1,2,1,1) é
(1,1,1,1),;(-1,2,1,1),;(0,0,1,0),;(0,0,0,1)

Exercícios relacionados