Exercício 1 Seja
subespaços de um espaço vetorial sobre
. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subespaços de um espaço vetorial
sobre
e pede para mostrar a relação entre as dimensões de
,
,
e
. Vamos usar os conceitos de base, dimensão e de extensão de base.
Passo 2
Seja
uma base de
. Por definição,
é um conjunto linearmente independente em
que gera
. Logo
Passo 3
Como
e
, podemos estender
a bases de cada subespaço:
- Estendemos
a uma base de : - Estendemos
a uma base de :
Passo 4
Mostramos que
é base de
.
-
Gera
: dado , com , . Cada um se expressa em termos de e , portanto se expressa em . -
É linearmente independente: suponha
Agrupando
e
, temos um vetor comum a
e
, logo pertence a
. Mas
não estão em
, então a parte
só pode ser nula se todos
. Analogamente, deduzimos
. Restam então apenas os coeficientes
sobre a base
, forçando
. Logo não há combinação linear não-trivial, provando independência.
Portanto
é base de
e
Passo 5
Reunindo as dimensões:
Daí