Exercício 1 Seja W1, W2 subespaços de um espaço vetorial sobre R. Mostre que
dimR W1+W2=dimR W1+dimR W2-dimR W1 cap W2

Passo 1

O enunciado diz que W1 e W2 são subespaços de um espaço vetorial V sobre R e pede para mostrar a relação entre as dimensões de W1, W2, W1+W2 e W1cap W2. Vamos usar os conceitos de base, dimensão e de extensão de base.

Passo 2

Seja
B = ,b1,dots,bk
uma base de W1cap W2. Por definição, B é um conjunto linearmente independente em V que gera W1cap W2. Logo
dimR(W1cap W2) = k

Passo 3

Como Bsubset W1 e Bsubset W2, podemos estender B a bases de cada subespaço:
  • Estendemos B a uma base de W1: B1 = Bcupu1,dots,ur com dimRW1 = k + r
  • Estendemos B a uma base de W2: B2 = Bcupv1,dots,vs com dimRW2 = k + s

Passo 4

Mostramos que
B1cup B2 = B;cupu1,dots,ur;cupv1,dots,vs
é base de W1+W2.
  1. Gera W1+W2: dado xin W1+W2, x = x1+x2 com x1in W1, x2in W2. Cada um se expressa em termos de B1 e B2, portanto x se expressa em B1cup B2.
  2. É linearmente independente: suponha
sumk=1^kalphakbk +sumi=1^rbetaiui +sumj=1^sgammajvj =0
Agrupando l(sumalphakbk+sumbetaiuir)in W1 e sumgammajvjin W2, temos um vetor comum a W1 e W2, logo pertence a W1cap W2. Mas ui não estão em W1cap W2, então a parte sumbetaiui só pode ser nula se todos betai=0. Analogamente, deduzimos gammaj=0. Restam então apenas os coeficientes alphak sobre a base B, forçando alphak=0. Logo não há combinação linear não-trivial, provando independência.
Portanto B1cup B2 é base de W1+W2 e
dimR(W1+W2) = |B1cup B2| = k + r + s

Passo 5

Reunindo as dimensões:
dimRW1 = k + r, dimRW2 = k + s, dimR(W1+W2) = k + r + s
Daí
dimR(W1+W2) = (k+r) + (k+s) - k = dimRW1 + dimRW2 - dimR(W1cap W2)

Resposta

dimR(W1+W2) = dimRW1 + dimRW2 - dimR(W1cap W2)

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