Considere o espaço vetorial P_{3} e o conjunto W=\left\{p(x) \in P_{3} ; p^{\prime \prime}(1)=0\right\}.
(a) Verifique se W é um subespaço vetorial de P_{3}.
(b) Obtenha os geradores de W.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial P_{3} (polinômios de grau menor ou igual a 3) e o subconjunto
W=\{p(x)\in P_{3}\;:\;p''(1)=0\}.
Precisamos responder duas coisas:
(a) verificar se W é um subespaço de P_{3};
(b) obter geradores de W (ou seja, um conjunto de polinômios que gere W).
Informações úteis que já temos do enunciado: qualquer polinômio p\in P_{3} pode ser escrito como
p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
com a,b,c,d\in\mathbb{R}. A condição que define W é p''(1)=0.

Passo 2

Primeiro vou explicar o critério que vou usar para decidir se W é subespaço, de modo que você possa reproduzir isso na prova.
Definição prática de subespaço: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se (i) W não é vazio (ou contém o vetor zero), (ii) é fechado sob soma: se u,v\in W então u+v\in W, e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.
Alternativa (mais curta, frequentemente usada em prova): identificar W como núcleo (kernel) de uma aplicação linear T:V\to\mathbb{R}; o kernel de uma aplicação linear é sempre subespaço.
Vou aplicar ambos os pontos de vista: primeiro calcular a condição explícita em termos dos coeficientes e depois usar a linearidade da derivada para fechar sob soma e escalar; em seguida mostrarei a observação do kernel para reforçar a ideia.

Passo 3

Calcular a segunda derivada de um polinômio genérico p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.
Derivando passo a passo:
p'(x)=3ax^{2}+2bx+c,
p''(x)=6ax+2b.
Avalio em x=1:
p''(1)=6a+2b.
A condição p''(1)=0 então equivale a
6a+2b=0.
Dividindo por 2 fica
3a+b=0,
ou seja
b=-3a.
Portanto todo polinômio de W tem a forma (substituindo b=-3a):
p(x)=ax^{3}-3ax^{2}+cx+d.

Passo 4

Verificação direta das propriedades de subespaço (usando linearidade das derivadas).
  1. Não vazio / contém o zero: o polinômio zero p(x)\equiv 0 corresponde a a=b=c=d=0 e tem p''(1)=0, logo 0\in W.
  2. Fechamento por soma: sejam p,q\in W. Como a derivada é linear, (p+q)''(1)=p''(1)+q''(1)=0+0=0. Logo p+q\in W.
  3. Fechamento por escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e p\in W. Novamente pela linearidade, (\alpha p)''(1)=\alpha p''(1)=\alpha\cdot 0=0. Logo \alpha p\in W.
Conclui-se que W satisfaz os três pontos e, portanto, é um subespaço de P_{3}.
Além disso, para ver de forma mais elegante: defina a aplicação linear
T:P_{3}\to\mathbb{R},\qquad T(p)=p''(1).
Então W=\ker T. Como o kernel de uma aplicação linear é sempre subespaço, isso confirma o resultado anterior.

Passo 5

Obter geradores de W. Usando a forma encontrada em

Passo 6

p(x)=a(x^{3}-3x^{2})+c\,x+d.
Isto mostra explicitamente que todo elemento de W é combinação linear dos três polinômios
x^{3}-3x^{2},\qquad x,\qquad 1.
Logo
W=\operatorname{span}\{\,x^{3}-3x^{2},\;x,\;1\,\},
ou seja, esses três polinômios geram W.

Passo 7

Verificar (rápido) que esses geradores são linearmente independentes, para saber se formam base.
Suponha que existam scalars \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha(x^{3}-3x^{2})+\beta x+\gamma\equiv 0
(polionômio nulo). Igualando coeficientes do polinômio ao expandir:
  • coeficiente de x^{3}: \alpha=0;
  • coeficiente de x^{2}: -3\alpha=0 (já consistente com \alpha=0);
  • coeficiente de x: \beta=0;
  • termo constante: \gamma=0.
Portanto \alpha=\beta=\gamma=0, o que prova que os três polinômios são linearmente independentes. Assim eles formam uma base de W e \dim W=3.
Observação curta e útil para prova: \dim P_{3}=4 e a condição linear p''(1)=0 impõe uma equação linear independente nos coeficientes, reduzindo a dimensão em 1; por isso \dim W=3.

Passo 8

Resumo de como resolver esse tipo de questão rapidamente na prova (roteiro prático):
  • escreva p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d;
  • calcule p''(x) e imponha p''(1)=0 para obter uma relação entre coeficientes;
  • deduza a forma geral de p (parâmetros livres) e escreva como combinação linear de polinômios geradores;
  • conclua subespaço verificando fechamento ou observando que é kernel de uma aplicação linear; confira independente linear dos geradores se for pedir base/dimensão.

Resposta

(a) W é um subespaço vetorial de P_{3}.\n
(b) Um sistema de geradores (na verdade uma base) é \{\,x^{3}-3x^{2},\;x,\;1\,\}.

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