Considere o espaço vetorial
e o conjunto
.
(a) Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
(b) Obtenha os geradores de
.
(a) Verifique se
(b) Obtenha os geradores de
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
(polinômios de grau menor ou igual a
) e o subconjunto
Precisamos responder duas coisas:
(a) verificar se é um subespaço de
;
(b) obter geradores de (ou seja, um conjunto de polinômios que gere
).
(a) verificar se
(b) obter geradores de
Informações úteis que já temos do enunciado: qualquer polinômio
pode ser escrito como
com
. A condição que define
é
.
Passo 2
Primeiro vou explicar o critério que vou usar para decidir se
é subespaço, de modo que você possa reproduzir isso na prova.
Definição prática de subespaço: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se (i)
não é vazio (ou contém o vetor zero), (ii) é fechado sob soma: se
então
, e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar: se
e
então
.
Alternativa (mais curta, frequentemente usada em prova): identificar
como núcleo (kernel) de uma aplicação linear
; o kernel de uma aplicação linear é sempre subespaço.
Vou aplicar ambos os pontos de vista: primeiro calcular a condição explícita em termos dos coeficientes e depois usar a linearidade da derivada para fechar sob soma e escalar; em seguida mostrarei a observação do kernel para reforçar a ideia.
Passo 3
Calcular a segunda derivada de um polinômio genérico
.
Derivando passo a passo:
Avalio em
:
A condição
então equivale a
Dividindo por
fica
ou seja
Portanto todo polinômio de
tem a forma (substituindo
):
Passo 4
Verificação direta das propriedades de subespaço (usando linearidade das derivadas).
-
Não vazio / contém o zero: o polinômio zero
corresponde a e tem , logo . -
Fechamento por soma: sejam
. Como a derivada é linear, . Logo . -
Fechamento por escalar: seja
e . Novamente pela linearidade, . Logo .
Conclui-se que
satisfaz os três pontos e, portanto, é um subespaço de
.
Além disso, para ver de forma mais elegante: defina a aplicação linear
Então
. Como o kernel de uma aplicação linear é sempre subespaço, isso confirma o resultado anterior.
Passo 5
Obter geradores de
. Usando a forma encontrada em
Passo 6
Isto mostra explicitamente que todo elemento de
é combinação linear dos três polinômios
Logo
ou seja, esses três polinômios geram
.
Passo 7
Verificar (rápido) que esses geradores são linearmente independentes, para saber se formam base.
Suponha que existam scalars
tais que
(polionômio nulo). Igualando coeficientes do polinômio ao expandir:
- coeficiente de
: ; - coeficiente de
: (já consistente com ); - coeficiente de
: ; - termo constante:
.
Portanto
, o que prova que os três polinômios são linearmente independentes. Assim eles formam uma base de
e
.
Observação curta e útil para prova:
e a condição linear
impõe uma equação linear independente nos coeficientes, reduzindo a dimensão em 1; por isso
.
Passo 8
Resumo de como resolver esse tipo de questão rapidamente na prova (roteiro prático):
- escreva
; - calcule
e imponha para obter uma relação entre coeficientes; - deduza a forma geral de
(parâmetros livres) e escreva como combinação linear de polinômios geradores; - conclua subespaço verificando fechamento ou observando que é kernel de uma aplicação linear; confira independente linear dos geradores se for pedir base/dimensão.
Resposta
(a)
é um subespaço vetorial de
.\n
(b) Um sistema de geradores (na verdade uma base) é .
(b) Um sistema de geradores (na verdade uma base) é