Vou entender o problema assim (como é usual neste tipo de exercício):
(a) verificar se \alpha e \beta são bases de W;
(b) encontrar a matriz de mudança de base de \alpha para \beta (isto é, a matriz P tal que [v]_{\beta}=P\,[v]_{\alpha} para todo v\in W).
As informações relevantes já listadas acima são os elementos de \alpha e \beta e a definição de W.]
Passo 2
Entender a dimensão de W.
Uma matriz genérica em W tem a forma \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & 0\end{pmatrix}. Os graus de liberdade são a,b,c, ou seja, três coordenadas independentes. Portanto
\dim(W)=3.
Assim, qualquer subconjunto de W com exatamente 3 vetores forma uma base se, e somente se, esses 3 vetores forem linearmente independentes (já que o número de vetores iguala a dimensão).]
Passo 3
Mapear matrizes de W para vetores de \mathbb{R}^3 (vetorização) para facilitar contas. Defino a aplicação linear bijetiva
\Phi: W\to\mathbb{R}^3,\qquad \Phi\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & 0\end{pmatrix}\right)=(a,b,c).
Essa aplicação preserva independência linear: matrizes são linearmente independentes em W sse seus vetores imagem em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes. Vou trabalhar com as imagens em \mathbb{R}^3.
Determinante não nulo implica que \Phi(A_1),\Phi(A_2),\Phi(A_3) são linearmente independentes, logo A_1,A_2,A_3 são linearmente independentes em W. Como há 3 vetores e \dim W=3, concluímos que \alpha é uma base de W.]
Passo 5
Verificar se \beta é linearmente independente. Formo a matriz com colunas \Phi(B_1),\Phi(B_2),\Phi(B_3):
Determinante não nulo, então \Phi(B_1),\Phi(B_2),\Phi(B_3) são independentes e, com 3 vetores em espaço de dimensão 3, \beta é base de W.]
Passo 6
Definição e estratégia para a matriz de mudança de base.
Queremos a matriz P tal que, para todo v\in W,
[v]_{\beta}=P\,[v]_{\alpha}.
A forma prática de obter P é escrever cada vetor da base \alpha como combinação linear dos vetores da base \beta. As coordenadas dessa combinação serão as colunas de P. Ou seja, para cada A_j\in\alpha achamos (x_j,y_j,z_j) tais que
A_j = x_j B_1 + y_j B_2 + z_j B_3,
e a j-ésima coluna de P será \begin{pmatrix}x_j\\[2pt]y_j\\[2pt]z_j\end{pmatrix}.]
Passo 7
Resolver para A_1\). Escrevo a igualdade em coordenadas via \(\Phi\). Quero \(x,y,z\) tais que
\[(1,1,1)=x(1,0,1)+y(1,1,0)+z(1,0,0).
Verificação rápida (sanity check): para o vetor A_1 com coordenadas em \alpha iguais a (1,0,0), tem-se [A_1]_{\beta}=P(1,0,0)^{T}=(1,1,-1)^{T}, que coincide com o que calculamos — isso confirma que montamos P corretamente.]
Resposta
\alpha é uma base de W.
\beta é uma base de W.
A matriz de mudança de base de \alpha para \beta é