Considere o espaço vetorial (V=M2 times 2(R),+, cdot) o conjunto das matrizes 2 times 2, com entradas reais e as operações usuais.
Quais dos seguintes vetores de v in V=M2 times 2(R) se escreve como CL de T:
T=u1=(cc 4 & 0 -2 & -2 ), u2=(cc 1 & -1 2 & 3 ), u3=(cc 0 & 2 1 & 4 ) subset V=M2 times 2(R)
v=(cc 6 & 0 3 & 8 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão tá pedindo pra gente ver se a matriz v = 6 & 0 3 & 8 pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes no conjunto T . Isso faz parte do estudo de espaços vetoriais e combinações lineares. Pra resolver isso, a gente vai precisar montar um sistema de equações onde a gente iguala v a uma combinação das matrizes de T multiplicadas por coeficientes que a gente vai descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos achar números a , b e c tais que:
v = a cdot u1 + b cdot u2 + c cdot u3
Onde:
u1 = 4 & 0 -2 & -2 , u2 = 1 & -1 2 & 3 , u3 = 0 & 2 1 & 4

Passo 3

Vamos multiplicar cada matriz por seus coeficientes e somar:
a cdot 4 & 0 -2 & -2 + b cdot 1 & -1 2 & 3 + c cdot 0 & 2 1 & 4 = 6 & 0 3 & 8
Isso resulta nas seguintes equações para cada posição da matriz:
  1. 4a + b = 6 (posição [1,1])
  2. -b + 2c = 0 (posição [1,2])
  3. -2a + 2b + c = 3 (posição [2,1])
  4. -2a + 3b + 4c = 8 (posição [2,2])

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Primeira equação:
4a + b = 6 Rightarrow b = 6 - 4a
Segunda equação:
-b + 2c = 0 Rightarrow b = 2c
Substituindo b = 2c na primeira equação:
4a + 2c = 6 Rightarrow 2a + c = 3 Rightarrow c = 3 - 2a
Agora, substituímos b = 2c e c = 3 - 2a na terceira equação:
-2a + 2(2c) + c = 3 Rightarrow -2a + 4c + c = 3 Rightarrow -2a + 5c = 3
Substituindo c = 3 - 2a :
-2a + 5(3 - 2a) = 3 Rightarrow -2a + 15 - 10a = 3 Rightarrow -12a = -12 Rightarrow a = 1
Com a = 1 :
c = 3 - 2(1) = 1
b = 2c = 2(1) = 2

Passo 5

Vamos conferir na quarta equação para garantir que tá tudo certo:
-2(1) + 3(2) + 4(1) = -2 + 6 + 4 = 8
Confere certinho!

Resposta

A matriz v = 6 & 0 3 & 8 pode ser escrita como combinação linear de T com os coeficientes a = 1 , b = 2 e c = 1 .

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