Considere o espaço vetorial (V=M2 times 2(R),+, cdot) o conjunto das matrizes 2 times 2, com entradas reais e as operações usuais.
Quais dos seguintes vetores de v in V=M2 times 2(R) se escreve como CL de T:
T=u1=(cc 4 & 0 -2 & -2 ), u2=(cc 1 & -1 2 & 3 ), u3=(cc 0 & 2 1 & 4 ) subset V=M2 times 2(R)
v=(cc -1 & 5 7 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está na área de Álgebra Linear, especificamente lidando com espaços vetoriais e combinações lineares. A gente precisa descobrir se a matriz v = -1 & 5 7 & 1 pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes u1, u2 e u3 que pertencem ao espaço vetorial V = M2 times 2(R) . Para isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes dessa combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Dizemos que v é uma combinação linear de T = u1, u2, u3 se existe alguma combinação de escalares a, b, c tais que:
v = a cdot u1 + b cdot u2 + c cdot u3
Nosso objetivo é encontrar esses valores de a, b, c que satisfazem essa igualdade.

Passo 3

Vamos escrever essa igualdade de forma mais explícita substituindo as matrizes:
-1 & 5 7 & 1 = a cdot 4 & 0 -2 & -2 + b cdot 1 & -1 2 & 3 + c cdot 0 & 2 1 & 4
Agora, vamos distribuir os escalares nas matrizes:
-1 & 5 7 & 1 = 4a & 0a -2a & -2a + b & -b 2b & 3b + 0c & 2c c & 4c
Somando as matrizes à direita:
-1 & 5 7 & 1 = 4a + b + 0c & 0a - b + 2c -2a + 2b + c & -2a + 3b + 4c
Isso nos dá um sistema de equações igualando cada entrada correspondente das matrizes:
4a + b = -1 -b + 2c = 5 -2a + 2b + c = 7 -2a + 3b + 4c = 1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
-b + 2c = 5 Rightarrow b = 2c - 5
Agora, substituímos b na primeira equação:
4a + (2c - 5) = -1 Rightarrow 4a + 2c = 4 Rightarrow 2a + c = 2 Rightarrow c = 2 - 2a
Agora, substituímos b = 2c - 5 e c = 2 - 2a na terceira equação:
-2a + 2(2c - 5) + c = 7
Primeiro, substituindo c :
-2a + 2(2(2 - 2a) - 5) + (2 - 2a) = 7
Vamos simplificar dentro dos parênteses:
2(4 - 4a - 5) = 2(-1 - 4a) = -2 - 8a
Então:
-2a + (-2 - 8a) + 2 - 2a = 7 Rightarrow -12a = 7
Resolvendo para a :
a = -712
Agora que temos a , podemos encontrar c :
c = 2 - 2(-712) = 2 + 1412 = 2 + 76 = 126 + 76 = 196
E então, encontrar b :
b = 2(196) - 5 = 386 - 306 = 86 = 43
Vamos verificar se esses valores satisfazem a quarta equação:
-2(-712) + 3(43) + 4(196) = 1412 + 4 + 766 = 76 + 4 + 383 = 76 + 246 + 766 = 1076 neq 1
Isso indica que houve um erro ou que o sistema não tem solução consistente, ou seja, v não pode ser escrito como uma combinação linear de u1, u2 e u3 .

Resposta

Após resolver o sistema de equações, concluímos que não existe uma combinação linear dos vetores u1, u2 e u3 que resulte na matriz v . Portanto, v não pode ser escrito como uma combinação linear de T .

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