Seja
um espaço vetorial sobre
. Responder verdadeiro (v) ou falso
, justificando suas respostas:
Se
é um conjunto de vetores LI de
, então
são LI;
Se
são LI;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
sobre os reais
. O enunciado diz que o conjunto
é um conjunto de vetores linearmente independentes (LI). Nosso objetivo é verificar se os subconjuntos
,
,
,
,
e
também são LI. Para isso, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente e como aplicar isso a subconjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, para um conjunto
, se
implica que
, então o conjunto é LI.
Passo 3
Sabemos que
é LI. Vamos analisar cada subconjunto:
-
: É um subconjunto com dois vetores. Como o conjunto original é LI, não existe uma combinação não trivial que zere e . Portanto, também é LI. -
: Mesma lógica do anterior. Não há combinação não trivial de e que dê zero, então esse conjunto também é LI. -
: Novamente, a mesma razão. Esse par de vetores é LI. -
, , : Qualquer conjunto com um único vetor não nulo é LI, porque a única combinação linear que dá zero é multiplicar o vetor por zero.
Passo 4
Em resumo, todos os subconjuntos mencionados mantêm a propriedade de serem linearmente independentes, já que nenhum deles permite uma combinação não trivial que resulte no vetor zero. Isso decorre diretamente do fato de que o conjunto original
é LI.
Resposta
Verdadeiro (V) para todos os subconjuntos. Cada um deles é linearmente independente.