Seja (V,+, cdot) um espaço vetorial sobre R. Responder verdadeiro (v) ou falso (f), justificando suas respostas:
Se v1, v2, v3 é um conjunto de vetores LI de V, então
v1, v2,v1, v3,v2, v3,v1,v2,v3
são LI;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial V sobre os reais R. O enunciado diz que o conjunto v1, v2, v3 é um conjunto de vetores linearmente independentes (LI). Nosso objetivo é verificar se os subconjuntos v1, v2, v1, v3, v2, v3, v1, v2 e v3 também são LI. Para isso, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente e como aplicar isso a subconjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, para um conjunto u1, u2, dots, un, se a1u1 + a2u2 + dots + anun = 0 implica que a1 = a2 = dots = an = 0, então o conjunto é LI.

Passo 3

Sabemos que v1, v2, v3 é LI. Vamos analisar cada subconjunto:
  1. v1, v2: É um subconjunto com dois vetores. Como o conjunto original é LI, não existe uma combinação não trivial que zere v1 e v2. Portanto, v1, v2 também é LI.
  2. v1, v3: Mesma lógica do anterior. Não há combinação não trivial de v1 e v3 que dê zero, então esse conjunto também é LI.
  3. v2, v3: Novamente, a mesma razão. Esse par de vetores é LI.
  4. v1, v2, v3: Qualquer conjunto com um único vetor não nulo é LI, porque a única combinação linear que dá zero é multiplicar o vetor por zero.

Passo 4

Em resumo, todos os subconjuntos mencionados mantêm a propriedade de serem linearmente independentes, já que nenhum deles permite uma combinação não trivial que resulte no vetor zero. Isso decorre diretamente do fato de que o conjunto original v1, v2, v3 é LI.

Resposta

Verdadeiro (V) para todos os subconjuntos. Cada um deles é linearmente independente.

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