Considere o espaço vetorial (V=M2 times 2(R),+, cdot) o conjunto das matrizes 2 times 2, com entradas reais e as operações usuais.
Quais dos seguintes vetores de v in V=M2 times 2(R) se escreve como CL de T:
T=u1=(cc 4 & 0 -2 & -2 ), u2=(cc 1 & -1 2 & 3 ), u3=(cc 0 & 2 1 & 4 ) subset V=M2 times 2(R)
v=(cc 0 & 0 0 & 0 )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial V = M2 times 2(R), que é o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 com entradas reais. As operações nesse espaço são a soma de matrizes e a multiplicação por escalar. Nosso objetivo é descobrir se o vetor v, que é a matriz nula:
v = 0 & 0 0 & 0 ,
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (matrizes) no conjunto T:
T = u1 = 4 & 0 -2 & -2 , u2 = 1 & -1 2 & 3 , u3 = 0 & 2 1 & 4
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como aplicá-la nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores u1, u2, u3 é qualquer expressão da forma:
c1u1 + c2u2 + c3u3,
onde c1, c2, c3 são escalares (números reais, no nosso caso).
Queremos encontrar se existem valores para c1, c2, c3 tais que essa combinação resulte na matriz nula v.

Passo 3

Vamos montar a equação para a combinação linear igualar a matriz nula. Substituindo as matrizes:
c1 4 & 0 -2 & -2 + c2 1 & -1 2 & 3 + c3 0 & 2 1 & 4 = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá um sistema de equações para cada posição da matriz resultante.

Passo 4

Vamos escrever o sistema de equações correspondentes a cada posição da matriz:
Para a posição (1,1):
4c1 + 1c2 + 0c3 = 0 (1)
Para a posição (1,2):
0c1 - 1c2 + 2c3 = 0 (2)
Para a posição (2,1):
-2c1 + 2c2 + 1c3 = 0 (3)
Para a posição (2,2):
-2c1 + 3c2 + 4c3 = 0 (4)

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de c1, c2, c3. Podemos usar métodos de resolução de sistemas, como substituição ou escalonamento.
Primeiro, da equação (1):
4c1 + c2 = 0 Rightarrow c2 = -4c1
Vamos substituir c2 na equação (2):
0c1 - (-4c1) + 2c3 = 0 Rightarrow 4c1 + 2c3 = 0 Rightarrow 2c1 + c3 = 0 Rightarrow c3 = -2c1
Agora, substituímos c2 e c3 nas equações (3) e (4):
Equação (3):
-2c1 + 2(-4c1) + (-2c1) = 0 Rightarrow -2c1 - 8c1 - 2c1 = -12c1 = 0 Rightarrow c1 = 0
Com c1 = 0, temos:
c2 = -4(0) = 0 c3 = -2(0) = 0

Resposta

Os escalares são c1 = 0, c2 = 0 e c3 = 0. Portanto, o vetor v pode ser escrito como uma combinação linear de T apenas com todos os coeficientes iguais a zero.

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