Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^3 :
W=(x, y, z) ; z=3 x-2 y

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)in R^3 mid z = 3x - 2y
e quer saber se W é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos usar o critério padrão: verificar se W contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em W. Substituindo x=0 e y=0 na condição z=3x-2y temos
z = 3cdot 0 - 2cdot 0 = 0,
logo (0,0,0) satisfaz a condição e pertence a W. Então W não é vazio e contém o zero.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob soma. Tomemos dois vetores qualquer em W:
u = (x1,y1,z1), v = (x2,y2,z2),
com z1 = 3x1 - 2y1 e z2 = 3x2 - 2y2. Então
u + v = (,x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,)
Como
z1 + z2 = (3x1 - 2y1) + (3x2 - 2y2) = 3(x1 + x2) - 2(y1 + y2),
vemos que ,u+vin W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação escalar. Seja um vetor
u = (x,y,z)in W
com z = 3x - 2y, e seja alphainR. Então
alpha u = (alpha x,;alpha y,;alpha z)
Mas
alpha z = alpha(3x - 2y) = 3(alpha x) - 2(alpha y),
logo alpha u também satisfaz a condição e pertence a W.

Resposta

W é um subespaço vetorial de R^3.

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