Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^3 :
W=(x, 2 x, x) ; x in R

Passo 1

O enunciado define o conjunto
,W=(x,2x,x)inR^3 mid xinR
e pede para verificar se ele é um subespaço vetorial de R^3.
Para isso vamos checar as três propriedades:
  1. conter o vetor zero,
  2. fechar sob soma,
  3. fechar sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar se 0=(0,0,0) pertence a W.
Tomando x=0 em ,(x,2x,x) obtemos
(0,2cdot0,0)=(0,0,0),
logo 0in W.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma.
Sejam u=(x1,2x1,x1) e v=(x2,2x2,x2) em W. Então
u+v =(x1+x2,;2x1+2x2,;x1+x2) =(x1+x2,;2(x1+x2),;x1+x2)
Definindo x'=x1+x2, temos u+v=(x',2x',x')in W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar.
Para u=(x,2x,x) em W e alphainR,
alpha,u =(alpha x,;2alpha x,;alpha x) =(x',2x',x'),
onde x'=alpha x. Assim alpha,uin W.

Passo 5

Como W contém 0 e é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de R^3.

Resposta

W é um subespaço vetorial de R^3.

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