Considere o espaço vetorial
. Dados os vetores
e
em
. Em cada item, determine se a aplicação é um produto interno em
. Se não for, diga em quais condições não valem.
.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
em . Para ser um produto interno, ela deve satisfazer:
) simetria,
) linearidade em cada argumento,
) positividade (isto é,
para todo
),
) definitude (se
então
).
em
Passo 2
Verificamos simetria e linearidade sem dificuldade:
,
e para escalares e vetores
e para escalares
Passo 3
Calculamos a “auto-forma”
logo a aplicação é apenas semi-definida positiva (satisfaz positividade).
Passo 4
Para ser produto interno precisa também de definitude, ou seja,
só se
. Mas se tomarmos
então
e . Portanto a definitude falha e não é produto interno em
.
Contudo, se restringirmos aos vetores com segunda componente nula,
, então
,
e aí a aplicação passa a ser um produto interno.
então
e
Contudo, se restringirmos aos vetores com segunda componente nula,
e aí a aplicação passa a ser um produto interno.
Resposta
A aplicação não é produto interno em
porque não satisfaz a condição de definitude (falha para vetores do tipo
). Ela só se torna produto interno se restringida ao subespaço
.