Considere o espaço vetorial R^3. Dados os vetores u=(u1, u2, u3) e v=(v1, v2, v3) em R^3. Em cada item, determine se a aplicação é um produto interno em R^3. Se não for, diga em quais condições não valem.
lang<= u, vrang<==u1 v1+u3 v3.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
lang<= u,vrang<= = u1v1 + u3v3
em R^3. Para ser um produto interno, ela deve satisfazer:
1) simetria,
2) linearidade em cada argumento,
3) positividade (isto é, lang<= u,urang<=>=0 para todo u),
4) definitude (se lang<= u,urang<==0 então u=0).

Passo 2

Verificamos simetria e linearidade sem dificuldade:
lang<= u,vrang<= = u1v1+u3v3 = v1u1+v3u3 = lang<= v,urang<=,
e para escalares a,b e vetores u,u',v
lang<= a,u + b,u',,vrang<= = (a,u1+b,u'1)v1 + (a,u3+b,u'3)v3 = alang<= u,vrang<= + blang<= u',vrang<=

Passo 3

Calculamos a “auto-forma”
lang<= u,urang<= = u1^2 + u3^2 ;>=; 0,
logo a aplicação é apenas semi-definida positiva (satisfaz positividade).

Passo 4

Para ser produto interno precisa também de definitude, ou seja,
lang<= u,urang<==0 só se u=0. Mas se tomarmos
u=(0,1,0)neq(0,0,0)
então
lang<= u,urang<= = 0^2+0^2 = 0
e uneq0. Portanto a definitude falha e não é produto interno em R^3.
Contudo, se restringirmos aos vetores com segunda componente nula,
(x,0,z)mid x,zinR, então
lang<= u,urang<= = x^2+z^2=0implies x=z=0implies u=0,
e aí a aplicação passa a ser um produto interno.

Resposta

A aplicação não é produto interno em R^3 porque não satisfaz a condição de definitude (falha para vetores do tipo (0,u2,0)neq0). Ela só se torna produto interno se restringida ao subespaço (x,0,z).

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