Considere o espaço vetorial
. Dados os vetores
e
em
. Em cada item, determine se a aplicação é um produto interno em
. Se não for, diga em quais condições não valem.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
em
. Para ser produto interno, ela deve satisfazer:
. Simetria:
.
. Bilinearidade em cada argumento.
. Positividade estrita:
sempre que
.
Passo 2
Verificamos simetria e bilinearidade:
– Simetria: troca por
em
não altera o valor, logo
.
– Bilinearidade: é soma de produtos escalares em cada coordenada, logo é linear em mantendo
fixo, e vice-versa.
– Simetria: troca
– Bilinearidade: é soma de produtos escalares em cada coordenada, logo é linear em
Passo 3
Analisamos a positividade estrita calculando
Para
temos
e para
mesmo com
. Logo falha a positividade estrita: existem vetores não nulos com
. Em particular
-
se . -
se .
Passo 4
Como as duas primeiras propriedades valem mas a positividade estrita falha, concluímos que não é produto interno em todo
. A positividade só ocorreria em vetores que satisfaçam
, mas isso não vale para todo
.
Resposta
A aplicação não é produto interno em
, pois
pode ser zero ou negativa para vetores não nulos (por exemplo,
dá
e
dá
).