Considere o espaço vetorial R^3. Dados os vetores u=(u1, u2, u3) e v=(v1, v2, v3) em R^3. Em cada item, determine se a aplicação é um produto interno em R^3. Se não for, diga em quais condições não valem.
lang<= u, vrang<==u1 v1-u2 v2+u3 v3.

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
lang<= u,vrang<= = u1v1 ;-; u2v2 ;+; u3v3
em R^3. Para ser produto interno, ela deve satisfazer:
1. Simetria: lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<=.
2. Bilinearidade em cada argumento.
3. Positividade estrita: lang<= u,urang<=>0 sempre que uneq0.

Passo 2

Verificamos simetria e bilinearidade:
– Simetria: troca u por v em u1v1-u2v2+u3v3 não altera o valor, logo lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=.
– Bilinearidade: é soma de produtos escalares em cada coordenada, logo é linear em u mantendo v fixo, e vice-versa.

Passo 3

Analisamos a positividade estrita calculando
lang<= u,urang<= = u1^2 - u2^2 + u3^2
Para u=(0,1,0) temos
lang<= u,urang<= = 0^2 - 1^2 + 0^2 = -1 < 0,
e para u=(1,raiz2,1)
lang<= u,urang<= = 1^2 - (raiz2)^2 + 1^2 = 1 - 2 + 1 = 0
mesmo com uneq0. Logo falha a positividade estrita: existem vetores não nulos com lang<= u,urang<=<=0. Em particular
  • lang<= u,urang<=<0 se u1^2+u3^2<u2^2.
  • lang<= u,urang<==0 se u1^2+u3^2=u2^2.

Passo 4

Como as duas primeiras propriedades valem mas a positividade estrita falha, concluímos que não é produto interno em todo R^3. A positividade só ocorreria em vetores que satisfaçam u1^2+u3^2>u2^2, mas isso não vale para todo uneq0.

Resposta

A aplicação não é produto interno em R^3, pois lang<= u,urang<= = u1^2-u2^2+u3^2 pode ser zero ou negativa para vetores não nulos (por exemplo, (0,1,0) -1 e (1,raiz2,1) 0).

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