Seja V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Mostre que para qualquer W subespaço vetorial de V se satisfaz:
W=(W^perp)^perp

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V com um produto interno, e um subespaço W desse espaço. Precisamos mostrar que W é igual ao duplo complemento ortogonal de W , ou seja, W = (W^perp)^perp .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de produto interno, subespaços ortogonais e propriedades dos complementos ortogonais em espaços vetoriais de dimensão finita.

Passo 2

Vamos começar mostrando que W está contido em (W^perp)^perp . Por definição, o complemento ortogonal W^perp é o conjunto de todos os vetores em V que são ortogonais a todos os vetores em W .
Para qualquer w in W , precisamos mostrar que w também está em (W^perp)^perp . Isto é, precisamos verificar que w é ortogonal a todos os vetores de W^perp .
De fato, para qualquer v in W^perp , temos:
lang<= w, v rang<= = 0
Isso significa que w está em (W^perp)^perp , ou seja, W subseteq (W^perp)^perp .

Passo 3

Agora, vamos mostrar a outra inclusão: (W^perp)^perp subseteq W . Para isso, lembramos que em espaços vetoriais de dimensão finita, temos que dim(W) + dim(W^perp) = dim(V) .
Sabemos que (W^perp)^perp é o menor subespaço fechado que contém W . Em um espaço de dimensão finita, isso significa que (W^perp)^perp não pode ter dimensão maior que W sem exceder a dimensão de V .
Como já mostramos que W subseteq (W^perp)^perp e ambos os espaços têm a mesma dimensão, concluímos que (W^perp)^perp subseteq W .

Resposta

Portanto, W = (W^perp)^perp .

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