Seja
um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Mostre que para qualquer
subespaço vetorial de
se satisfaz:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
com um produto interno, e um subespaço
desse espaço. Precisamos mostrar que
é igual ao duplo complemento ortogonal de
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de produto interno, subespaços ortogonais e propriedades dos complementos ortogonais em espaços vetoriais de dimensão finita.
Passo 2
Vamos começar mostrando que
está contido em
. Por definição, o complemento ortogonal
é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores em
.
Para qualquer
, precisamos mostrar que
também está em
. Isto é, precisamos verificar que
é ortogonal a todos os vetores de
.
De fato, para qualquer
, temos:
Isso significa que
está em
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar a outra inclusão:
. Para isso, lembramos que em espaços vetoriais de dimensão finita, temos que
.
Sabemos que
é o menor subespaço fechado que contém
. Em um espaço de dimensão finita, isso significa que
não pode ter dimensão maior que
sem exceder a dimensão de
.
Como já mostramos que
e ambos os espaços têm a mesma dimensão, concluímos que
.
Resposta
Portanto,
.