Dado o espaço vetorial V com o produto interno canônico. Determine o complemento ortogonal dos seguintes subespaços vetoriais:
V=M(2,2) e W=[lla & b c & d] in M(2,2) rvert, 2 a+b=c, d=0

Passo 1

O espaço ambiente é V = M(2,2) equipado com o produto interno canônico
lang<= X,Yrang<= = tr(X^T Y)
e o subespaço é
W = l,a & b c & din M(2,2);|;2a+b=c,;d=0r
Queremos W^perp = Xin Vmidlang<= X,Yrang<==0 forall,Yin W

Passo 2

Parametrizamos W usando a,b livres e escrevemos
c = 2a+b, d=0,
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a & b c & d = a1 & 02 & 0 + b0 & 11 & 0
Assim uma base de W é
E1 = 1&02&0, E2 = 0&11&0

Passo 3

Seja um vetor geral em V dado por
X = x & y z & w,
com x,y,z,winR

Passo 4

Para
Isso dá o sistema
sem restrição sobre (w].

Passo 5

Resolvendo em função de z,w livres:
x = -2z, y = -z, w=w
Logo
X = z-2 & -11 & 0 + w0 & 00 & 1,
e uma base de W^perp é
F1 = -2 & -11 & 0, F2 = 0 & 00 & 1

Resposta

W^perp = l,z-2 & -11 & 0 + w0 & 00 & 1 ;|;z,winRr
com base l,-2 & -11 & 0,,0 & 00 & 1r

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