Considere o espaço vetorial
. Dados os vetores
e
em
. Em cada item, determine se a aplicação é um produto interno em
. Se não for, diga em quais condições não valem.
.
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
e pede para verificar se ela é um produto interno, isto é, se satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida.
Passo 2
Simetria e bilinearidade vêm diretamente da forma da expressão: é linear em cada argumento e
Passo 3
Para positividade definida, note que para todo
Como
,
e
, temos
e a soma só é zero se
. Logo, é definida positiva.
Resposta
A aplicação
é um produto interno em
.