Considere o espaço vetorial R^3. Dados os vetores u=(u1, u2, u3) e v=(v1, v2, v3) em R^3. Em cada item, determine se a aplicação é um produto interno em R^3. Se não for, diga em quais condições não valem.
lang<= u, vrang<==7 u1 v1+u2 v2+5 u3 v3.

Passo 1

O enunciado define em R^3 a aplicação
lang<= u,vrang<= = 7u1v1 + u2v2 + 5u3v3
e pede para verificar se ela é um produto interno, isto é, se satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

Simetria e bilinearidade vêm diretamente da forma da expressão: é linear em cada argumento e
lang<= u,vrang<= = 7u1v1 + u2v2 + 5u3v3 = 7v1u1 + v2u2 + 5v3u3 = lang<= v,urang<=

Passo 3

Para positividade definida, note que para todo uinR^3
lang<= u,urang<= = 7u1^2 + u2^2 + 5u3^2
Como 7>0, 1>0 e 5>0, temos lang<= u,urang<=>=0 e a soma só é zero se u1=u2=u3=0. Logo, é definida positiva.

Resposta

A aplicação lang<= u,vrang<= = 7u1v1 + u2v2 + 5u3v3 é um produto interno em R^3.

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