Seja P2(R) espaço vetorial com o produto interno canônico. Considere os polinômios
p(x)=3-x+x^2, q(x)=2+5 x^2.
Determine:
(a) A norma (comprimento) de p e q.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois polinômios no espaço vetorial P2(R), que é basicamente o conjunto de todos os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a norma (ou comprimento) desses polinômios usando o produto interno canônico. Para isso, vamos precisar entender o que é norma e produto interno nesse contexto e como aplicá-los aos polinômios dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada polinômio no espaço P2(R) pode ser escrito na forma p(x) = a0 + a1x + a2x^2, onde a0, a1 e a2 são os coeficientes. No nosso caso:
  • Para p(x) = 3 - x + x^2, os coeficientes são:
    • a0 = 3
    • a1 = -1
    • a2 = 1
  • Para q(x) = 2 + 5x^2, os coeficientes são:
    • b0 = 2
    • b1 = 0 (porque não tem termo em x)
    • b2 = 5

Passo 3

Agora, vamos falar sobre produto interno e norma. No espaço vetorial com produto interno canônico, o produto interno de dois vetores (ou aqui, de dois polinômios) é a soma dos produtos dos seus coeficientes correspondentes. A norma de um polinômio é simplesmente a raiz quadrada do produto interno dele consigo mesmo.
A fórmula do produto interno para um polinômio p(x) = a0 + a1x + a2x^2 é:
lang<= p, p rang<= = a0^2 + a1^2 + a2^2
E a norma é:
|p| = raizlang<= p, p rang<= = raiza0^2 + a1^2 + a2^2

Passo 4

Vamos aplicar isso aos nossos polinômios.
Para p(x) = 3 - x + x^2:
|p| = raiz3^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz9 + 1 + 1 = raiz11
Para q(x) = 2 + 5x^2:
|q| = raiz2^2 + 0^2 + 5^2 = raiz4 + 0 + 25 = raiz29

Resposta

A norma de p(x) é raiz11 e a norma de q(x) é raiz29.

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