Seja
espaço vetorial com o produto interno canônico. Considere os polinômios
.
Determine:
(a) A norma (comprimento) de
e
.
Determine:
(a) A norma (comprimento) de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois polinômios no espaço vetorial
, que é basicamente o conjunto de todos os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a norma (ou comprimento) desses polinômios usando o produto interno canônico. Para isso, vamos precisar entender o que é norma e produto interno nesse contexto e como aplicá-los aos polinômios dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada polinômio no espaço
pode ser escrito na forma
, onde
,
e
são os coeficientes. No nosso caso:
-
Para
, os coeficientes são: -
-
Para
, os coeficientes são: -
-
(porque não tem termo em ) -
-
Passo 3
Agora, vamos falar sobre produto interno e norma. No espaço vetorial com produto interno canônico, o produto interno de dois vetores (ou aqui, de dois polinômios) é a soma dos produtos dos seus coeficientes correspondentes. A norma de um polinômio é simplesmente a raiz quadrada do produto interno dele consigo mesmo.
A fórmula do produto interno para um polinômio
é:
E a norma é:
Passo 4
Vamos aplicar isso aos nossos polinômios.
Para
:
Para
:
Resposta
A norma de
é
e a norma de
é
.