Seja
espaço vetorial com o produto interno canônico. Considere os polinômios
.
Determine:
A distância entre
e
.
Determine:
A distância entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre espaços vetoriais, especificamente o espaço dos polinômios de grau até 2 com o produto interno canônico. Temos dois polinômios:
Nosso objetivo é encontrar a distância entre esses dois polinômios. Para isso, vamos precisar entender como calcular a distância em um espaço vetorial usando o produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois vetores (ou polinômios, no nosso caso)
e
é dada pela norma da diferença entre eles:
Então, vamos calcular
:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a norma desse polinômio
. No espaço vetorial com produto interno canônico, a norma de um polinômio
é dada por:
Aqui, os coeficientes são:
Passo 4
Aplicando a fórmula da norma:
Podemos simplificar a raiz:
Resposta
A distância entre os polinômios
e
é
.