Seja P2(R) espaço vetorial com o produto interno canônico. Considere os polinômios
p(x)=3-x+x^2, q(x)=2+5 x^2.
Determine:
A distância entre p e q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre espaços vetoriais, especificamente o espaço dos polinômios de grau até 2 com o produto interno canônico. Temos dois polinômios:
  • p(x) = 3 - x + x^2
  • q(x) = 2 + 5x^2
Nosso objetivo é encontrar a distância entre esses dois polinômios. Para isso, vamos precisar entender como calcular a distância em um espaço vetorial usando o produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois vetores (ou polinômios, no nosso caso) p e q é dada pela norma da diferença entre eles:
Distância = | p - q | â
Então, vamos calcular p - q :
p(x) - q(x) = (3 - x + x^2) - (2 + 5x^2) = (3 - 2) + (-1 - 0)x + (1 - 5)x^2 = 1 - x - 4x^2

Passo 3

Agora, precisamos calcular a norma desse polinômio p - q = 1 - x - 4x^2 . No espaço vetorial com produto interno canônico, a norma de um polinômio r(x) = a + bx + cx^2 é dada por:
| r | = raiza^2 + b^2 + c^2
Aqui, os coeficientes são:
  • a = 1
  • b = -1
  • c = -4

Passo 4

Aplicando a fórmula da norma:
| p - q | = raiz1^2 + (-1)^2 + (-4)^2 = raiz1 + 1 + 16 = raiz18
Podemos simplificar a raiz:
raiz18 = raiz9 times 2 = 3raiz2

Resposta

A distância entre os polinômios p e q é 3raiz2 .

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