Considere o espaço vetorial R^4. Dar uma base e a dimensão do subespaço por: W=(x, y, z, t): x+2 t-z=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial R^4 e queremos encontrar uma base e a dimensão de um subespaço W definido por:
W = (x, y, z, t) : x + 2t - z = 0
Aqui, estamos lidando com conceitos de espaços vetoriais, subespaços, base e dimensão. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar uma base para W e depois determinar quantos vetores essa base possui, o que nos dará a dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que define W:
x + 2t - z = 0
Essa é uma equação linear que relaciona as coordenadas x, z e t. Podemos reorganizar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos isolar x:
x = z - 2t

Passo 3

Agora, sabemos que x pode ser escrito em função de z e t. Isso significa que y, z e t são variáveis livres — ou seja, podemos escolher qualquer valor para elas. Assim, podemos expressar um vetor genérico em W da seguinte forma:
(x, y, z, t) = (z - 2t, y, z, t)

Passo 4

Vamos decompor esse vetor em termos de y, z e t:
(x, y, z, t) &= y cdot (0, 1, 0, 0) + z cdot (1, 0, 1, 0) + t cdot (-2, 0, 0, 1) &= y(0,1,0,0) + z(1,0,1,0) + t(-2,0,0,1)
Aqui, cada termo multiplica um vetor específico, mostrando como qualquer vetor em W pode ser formado combinando esses vetores com diferentes coeficientes y, z e t.

Passo 5

Os vetores que multiplicamos pelos coeficientes são:
v1 &= (0, 1, 0, 0) v2 &= (1, 0, 1, 0) v3 &= (-2, 0, 0, 1)
Esses vetores são linearmente independentes e geram o subespaço W. Portanto, eles formam uma base para W.

Resposta

Uma base para W é , (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (-2, 0, 0, 1) , e a dimensão de W é 3.

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