Considere o espaço vetorial
. Dar uma base e a dimensão do subespaço por:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
e queremos encontrar uma base e a dimensão de um subespaço
definido por:
Aqui, estamos lidando com conceitos de espaços vetoriais, subespaços, base e dimensão. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar uma base para
e depois determinar quantos vetores essa base possui, o que nos dará a dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que define
:
Essa é uma equação linear que relaciona as coordenadas
,
e
. Podemos reorganizar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, sabemos que
pode ser escrito em função de
e
. Isso significa que
,
e
são variáveis livres — ou seja, podemos escolher qualquer valor para elas. Assim, podemos expressar um vetor genérico em
da seguinte forma:
Passo 4
Vamos decompor esse vetor em termos de
,
e
:
Aqui, cada termo multiplica um vetor específico, mostrando como qualquer vetor em
pode ser formado combinando esses vetores com diferentes coeficientes
,
e
.
Passo 5
Os vetores que multiplicamos pelos coeficientes são:
Esses vetores são linearmente independentes e geram o subespaço
. Portanto, eles formam uma base para
.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é
.