Determine uma base do núcleo de T.
T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(x, z-2 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos uma base do núcleo da transformação linear T definida por T(x, y, z) = (x, z - 2y) . A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente transformações lineares e núcleos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como encontrar vetores que pertencem a ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por Ker(T) , é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) em R^3 que são mapeados para o vetor zero em R^2 . Ou seja:
Ker(T) = (x, y, z) in R^3 mid T(x, y, z) = (0, 0)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a definição de T ao vetor geral (x, y, z) :
T(x, y, z) = (x, z - 2y)
Para que T(x, y, z) = (0, 0) , precisamos que ambas as componentes sejam iguais a zero. Portanto, temos o sistema de equações:
x = 0 z - 2y = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação, já sabemos que x = 0 .
  2. Da segunda equação, podemos isolar z :
z = 2y
Então, z depende diretamente de y .

Passo 5

Com as soluções encontradas, qualquer vetor no núcleo de T deve ter a forma:
(x, y, z) = (0, y, 2y)
Podemos fatorar o y :
(0, y, 2y) = y cdot (0, 1, 2)
Isso mostra que todos os vetores no núcleo são múltiplos do vetor (0, 1, 2) .

Passo 6

Para determinar uma base do núcleo de T , precisamos de um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o núcleo. Como todos os vetores do núcleo são múltiplos de (0, 1, 2) , basta tomar esse vetor como base.

Resposta

Uma base do núcleo de T é , (0, 1, 2) , .

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