Determine uma base do núcleo de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos uma base do núcleo da transformação linear
definida por
. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente transformações lineares e núcleos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como encontrar vetores que pertencem a ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a definição de
ao vetor geral
:
Para que
, precisamos que ambas as componentes sejam iguais a zero. Portanto, temos o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações:
- Da primeira equação, já sabemos que
. - Da segunda equação, podemos isolar
:
Então,
depende diretamente de
.
Passo 5
Com as soluções encontradas, qualquer vetor no núcleo de
deve ter a forma:
Podemos fatorar o
:
Isso mostra que todos os vetores no núcleo são múltiplos do vetor
.
Passo 6
Para determinar uma base do núcleo de
, precisamos de um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o núcleo. Como todos os vetores do núcleo são múltiplos de
, basta tomar esse vetor como base.
Resposta
Uma base do núcleo de
é
.