T é injetora? T é sobrejetora? Justifique.
T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(x, z-2 y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa descobrir se a transformação linear T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z) = (x, z - 2y) é injetora e/ou sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é injetividade e sobrejetividade, além de usar um pouco de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se T é injetora. Uma transformação é injetora se cada elemento do conjunto de chegada ( R^2) for atingido por no máximo um elemento do conjunto de partida ( R^3). Na prática, isso significa que o núcleo da transformação (todos os vetores que são mapeados para o vetor zero) deve conter apenas o vetor zero.

Passo 3

Para encontrar o núcleo de [T), resolvemos a equação :
Da primeira equação, sabemos que . Então, os vetores no núcleo são da forma , onde pode ser qualquer número real. Isso significa que o núcleo não contém apenas o vetor zero, mas uma infinidade de vetores.

Passo 4

Como o núcleo de T contém mais do que apenas o vetor zero, concluímos que T não é injetora.

Passo 5

Agora, vamos verificar se T é sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada ( R^2) for atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida ( R^3).

Passo 6

Para ver se [T) é sobrejetora, precisamos verificar se para qualquer vetor em , existe um vetor em tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
A partir da primeira equação, escolhemos livremente e, então, definir .

Passo 7

Como sempre conseguimos encontrar valores de x, y, z que satisfazem T(x, y, z) = (a, b) para qualquer (a, b) em R^2 , concluímos que T é sobrejetora.

Resposta

A transformação T não é injetora, mas é sobrejetora.

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