é injetora?
é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa descobrir se a transformação linear
definida por
é injetora e/ou sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é injetividade e sobrejetividade, além de usar um pouco de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é injetora. Uma transformação é injetora se cada elemento do conjunto de chegada (
) for atingido por no máximo um elemento do conjunto de partida (
). Na prática, isso significa que o núcleo da transformação (todos os vetores que são mapeados para o vetor zero) deve conter apenas o vetor zero.
Passo 3
Para encontrar o núcleo de [T), resolvemos a equação
:
Da primeira equação, sabemos que . Então, os vetores no núcleo são da forma
, onde
pode ser qualquer número real. Isso significa que o núcleo não contém apenas o vetor zero, mas uma infinidade de vetores.
Passo 4
Como o núcleo de
contém mais do que apenas o vetor zero, concluímos que
não é injetora.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada (
) for atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida (
).
Passo 6
Para ver se [T) é sobrejetora, precisamos verificar se para qualquer vetor
em
, existe um vetor
em
tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
A partir da primeira equação, escolhemos livremente e, então, definir
.
Passo 7
Como sempre conseguimos encontrar valores de
que satisfazem
para qualquer
em
, concluímos que
é sobrejetora.
Resposta
A transformação
não é injetora, mas é sobrejetora.