Considere o espaço vetorial
(1,0)- Determine uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial que é gerado pelos vetores , e . A questão pede pra gente encontrar uma base para o complemento ortogonal de , que representa todos os vetores que são “perpendiculares” a cada vetor de . Vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais e ortogonalidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é complemento ortogonal. Dado um subespaço de , o complemento ortogonal é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a cada vetor de . Ou seja, se está em , então para todo em .
Passo 3
Agora, para encontrar , precisamos resolver o sistema de equações que vem da condição de ortogonalidade. Vamos chamar o vetor . Temos que:
Perceba que a segunda e a terceira equação ficaram iguais, então temos duas equações:
x1 = -2x2
2x2 + x3 + x4 = 0
Passo 5
Vamos expressar algumas variáveis em termos de outras para encontrar a solução geral. Podemos escolher x2 e x3 como variáveis livres.
Da segunda equação:
2x2 + x3 + x4 = 0
Isolando x4 :
x4 = -2x2 - x3
Então, temos:
x1 = -2x2 x4 = -2x2 - x3
Passo 6
Agora, escrevemos o vetor x em termos das variáveis livres x2 e x3 :
x = (x1, x2, x3, x4) = (-2x2, x2, x3, -2x2 - x3)
Podemos separar isso em combinações lineares:
x = x2(-2, 1, 0, -2) + x3(0, 0, 1, -1)
Passo 7
Isso mostra que todo vetor em B^perp pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (-2,1,0,-2) e (0,0,1,-1) . Portanto, esses dois vetores formam uma base para B^perp .
Resposta
Uma base para B^perp é formada pelos vetores (-2, 1, 0, -2) e (0, 0, 1, -1) .