Considere o espaço vetorial V=Span(1,2,0,0),(0,2,1,1),(-2,-2,1,1)
(1,0)- Determine uma base para B^perp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial V que é gerado pelos vetores (1,2,0,0) , (0,2,1,1) e (-2,-2,1,1) . A questão pede pra gente encontrar uma base para o complemento ortogonal de B , que representa todos os vetores que são “perpendiculares” a cada vetor de B . Vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais e ortogonalidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é complemento ortogonal. Dado um subespaço B de R^4 , o complemento ortogonal B^perp é o conjunto de todos os vetores em R^4 que são ortogonais a cada vetor de B . Ou seja, se x está em B^perp , então x cdot v = 0 para todo v em B .

Passo 3

Agora, para encontrar B^perp , precisamos resolver o sistema de equações que vem da condição de ortogonalidade. Vamos chamar o vetor x = (x1, x2, x3, x4) . Temos que:
x cdot (1,2,0,0) = 0 x cdot (0,2,1,1) = 0 x cdot (-2,-2,1,1) = 0
Isso dá:
1x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 = 0 0x1 + 2x2 + 1x3 + 1x4 = 0 -2x1 - 2x2 + 1x3 + 1x4 = 0

Passo 4

Vamos simplificar essas equações:
  1. x1 + 2x2 = 0 Rightarrow x1 = -2x2
  2. 2x2 + x3 + x4 = 0
  3. -2x1 - 2x2 + x3 + x4 = 0
Substituindo x1 = -2x2 na terceira equação:
-2(-2x2) - 2x2 + x3 + x4 = 0
4x2 - 2x2 + x3 + x4 = 0
2x2 + x3 + x4 = 0
Perceba que a segunda e a terceira equação ficaram iguais, então temos duas equações:
  1. x1 = -2x2
  2. 2x2 + x3 + x4 = 0

Passo 5

Vamos expressar algumas variáveis em termos de outras para encontrar a solução geral. Podemos escolher x2 e x3 como variáveis livres.
Da segunda equação:
2x2 + x3 + x4 = 0
Isolando x4 :
x4 = -2x2 - x3
Então, temos:
x1 = -2x2 x4 = -2x2 - x3

Passo 6

Agora, escrevemos o vetor x em termos das variáveis livres x2 e x3 :
x = (x1, x2, x3, x4) = (-2x2, x2, x3, -2x2 - x3)
Podemos separar isso em combinações lineares:
x = x2(-2, 1, 0, -2) + x3(0, 0, 1, -1)

Passo 7

Isso mostra que todo vetor em B^perp pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (-2,1,0,-2) e (0,0,1,-1) . Portanto, esses dois vetores formam uma base para B^perp .

Resposta

Uma base para B^perp é formada pelos vetores (-2, 1, 0, -2) e (0, 0, 1, -1) .

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