Considere o espaço vetorial V=Span(1,2,0,0),(0,2,1,1),(-2,-2,1,1)
(1,0)- Seja v=(1,0,-1,1). O vetor v pertencer a V ? Se sim, detemine [v]B, as coordenadas de v na base B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre espaço vetorial e base. Temos o espaço V gerado pelos vetores (1,2,0,0), (0,2,1,1) e (-2,-2,1,1). Queremos saber se o vetor v = (1,0,-1,1) pertence a esse espaço. Se pertencer, vamos encontrar as coordenadas de v na base B formada por esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor pertencer a um espaço vetorial gerado por uma base. Basicamente, isso quer dizer que conseguimos escrever o vetor v como uma combinação linear dos vetores da base B . Ou seja, queremos achar escalares a , b e c tais que:
v = a(1,2,0,0) + b(0,2,1,1) + c(-2,-2,1,1)

Passo 3

Vamos montar as equações componentes. Seja v = (1,0,-1,1) , temos:
1 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot (-2) 0 = a cdot 2 + b cdot 2 + c cdot (-2) -1 = a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 1 1 = a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 1

Passo 4

Observamos que as últimas duas equações são:
-1 = b + c (1) 1 = b + c (2)
Vemos que essas duas equações são inconsistentes, pois -1 neq 1 . Isso significa que não existe conjunto de valores a , b , c que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.

Passo 5

Já que não conseguimos encontrar uma combinação linear dos vetores da base que resulte em v , concluímos que o vetor v = (1,0,-1,1) não pertence ao espaço vetorial V .

Resposta

O vetor v = (1,0,-1,1) não pertence ao espaço vetorial V .

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