(1,0)- Determine todos os valores de para os quais: O sistema tem uma única solução;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas: , e . Além disso, há um parâmetro presente nas equações. O objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema tem uma única solução. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações, métodos de substituição ou eliminação, e determinantes para verificar se o sistema é consistente e independente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
Observamos que temos três equações com três incógnitas, mas a presença do parâmetro b torna o sistema um pouco mais complexo.
Passo 3
Vamos simplificar as equações para facilitar a resolução. A segunda e a terceira equações não estão igualando a uma combinação das variáveis x , y e z de forma direta. Portanto, vamos resolver essas equações para expressar x , y ou z em termos de b .
Com o valor de y encontrado, substituímos de volta na expressão que obtivemos para x :
x = -b + 4 + b^2 - 2y x = -b + 4 + b^2 - 2(1) x = -b + 4 + b^2 - 2 x = -b + b^2 + 2
Passo 7
Agora, voltamos à primeira equação do sistema para encontrar z :
x + 2y + z = 3
Substituindo x e y :
(-b + b^2 + 2) + 2(1) + z = 3 - b + b^2 + 2 + 2 + z = 3 - b + b^2 + 4 + z = 3
Isolando z :
z = 3 + b - b^2 - 4 z = -b^2 + b - 1
Passo 8
Até agora, encontramos y = 1 , x = -b + b^2 + 2 e z = -b^2 + b - 1 . Para que o sistema tenha uma única solução, todas essas expressões devem ser válidas para qualquer valor de b . No entanto, precisamos verificar se há alguma restrição no valor de b que possa tornar o sistema inconsistente ou dependente.
Observando as expressões, não há denominadores que poderiam se tornar zero, e não há restrições que impeçam a existência de x e z para algum valor específico de b . Portanto, o sistema terá uma única solução para qualquer valor de b real.
Resposta
O sistema linear tem uma única solução para todos os valores reais de b .