Considere o sistema linear
x+2 y+z=3 -x-2 y+b^2=b-4 -x+b+b^2=2 b-2
(1,0)- Determine todos os valores de b para os quais: O sistema tem uma única solução;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas: x , y e z . Além disso, há um parâmetro b presente nas equações. O objetivo é descobrir para quais valores de b esse sistema tem uma única solução. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações, métodos de substituição ou eliminação, e determinantes para verificar se o sistema é consistente e independente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
x + 2y + z = 3 -x - 2y + b^2 = b - 4 -x + b + b^2 = 2b - 2
Observamos que temos três equações com três incógnitas, mas a presença do parâmetro b torna o sistema um pouco mais complexo.

Passo 3

Vamos simplificar as equações para facilitar a resolução. A segunda e a terceira equações não estão igualando a uma combinação das variáveis x , y e z de forma direta. Portanto, vamos resolver essas equações para expressar x , y ou z em termos de b .
Primeiro, da segunda equação:
- x - 2y + b^2 = b - 4
Vamos rearranjar para isolar x :
- x = b - 4 - b^2 + 2y x = -b + 4 + b^2 - 2y

Passo 4

Agora, da terceira equação:
- x + b + b^2 = 2b - 2
Substituindo x da equação anterior:
- (-b + 4 + b^2 - 2y) + b + b^2 = 2b - 2 b - 4 - b^2 + 2y + b + b^2 = 2b - 2 ( b + b ) + (-4) + ( -b^2 + b^2 ) + 2y = 2b - 2 2b - 4 + 2y = 2b - 2

Passo 5

Subtraindo 2b de ambos os lados:
-4 + 2y = -2
Agora, isolamos y :
2y = -2 + 4 2y = 2 y = 1

Passo 6

Com o valor de y encontrado, substituímos de volta na expressão que obtivemos para x :
x = -b + 4 + b^2 - 2y x = -b + 4 + b^2 - 2(1) x = -b + 4 + b^2 - 2 x = -b + b^2 + 2

Passo 7

Agora, voltamos à primeira equação do sistema para encontrar z :
x + 2y + z = 3
Substituindo x e y :
(-b + b^2 + 2) + 2(1) + z = 3 - b + b^2 + 2 + 2 + z = 3 - b + b^2 + 4 + z = 3
Isolando z :
z = 3 + b - b^2 - 4 z = -b^2 + b - 1

Passo 8

Até agora, encontramos y = 1 , x = -b + b^2 + 2 e z = -b^2 + b - 1 . Para que o sistema tenha uma única solução, todas essas expressões devem ser válidas para qualquer valor de b . No entanto, precisamos verificar se há alguma restrição no valor de b que possa tornar o sistema inconsistente ou dependente.
Observando as expressões, não há denominadores que poderiam se tornar zero, e não há restrições que impeçam a existência de x e z para algum valor específico de b . Portanto, o sistema terá uma única solução para qualquer valor de b real.

Resposta

O sistema linear tem uma única solução para todos os valores reais de b .

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