Considere o espaço vetorial V=Span(1,2,0,0),(0,2,1,1),(-2,-2,1,1)
(1,0)- Determine a dimensão de V e encontre uma base B para V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a dimensão do espaço vetorial V que é gerado pelos vetores (1,2,0,0), (0,2,1,1) e (-2,-2,1,1). Além disso, precisa a gente encontrar uma base B para esse espaço. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de espaços vetoriais, dimensão e bases. Para resolver, vamos precisar analisar se esses vetores são linearesmente independentes e, se não forem, descobrir quais deles formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a dimensão de um espaço vetorial. A dimensão é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, o número máximo de vetores linearmente independentes que ele contém.

Passo 3

Agora, para saber se os vetores (1,2,0,0), (0,2,1,1) e (-2,-2,1,1) são linearmente independentes, vamos montar uma matriz com eles e ver se o determinante é diferente de zero. Como estamos em R^4, mas temos apenas 3 vetores, podemos verificar a relação de dependência entre eles.

Passo 4

Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
1 & 0 & -2 2 & 2 & -2 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1
Agora, vamos fazer operações que simplifiquem essa matriz para ver se conseguimos uma linha de zeros, o que indicaria dependência linear.

Passo 5

Observamos que as últimas duas linhas são iguais: (0,1,1) e (0,1,1). Isso já mostra que há uma relação de dependência entre os vetores, ou seja, pelo menos um deles pode ser escrito como combinação dos outros. Portanto, não todos os três são necessários para formar uma base.

Passo 6

Vamos então considerar apenas dois vetores e verificar se eles são linearmente independentes. Vamos pegar os dois primeiros: (1,2,0,0) e (0,2,1,1). Para ver se são independentes, montamos uma matriz 2 times 2:
1 & 0 2 & 2
O determinante dessa matriz é 1 times 2 - 0 times 2 = 2, que é diferente de zero. Isso significa que esses dois vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Como encontramos dois vetores que são linearmente independentes e suficientes para gerar V , concluímos que a dimensão de V é 2. E a base B pode ser formada por esses dois vetores, ou seja:
B = , (1,2,0,0), (0,2,1,1) ,

Resposta

A dimensão de V é 2 e uma base B para V é , (1,2,0,0), (0,2,1,1) ,.

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