Use o método de Gauss-Jordan para achar a inversa da matriz dada (se existir).
[cc1 & a -a & 1]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = 1 & a -a & 1
usando o método de Gauss–Jordan. Isso significa montar a matriz aumentada (Amid I) e aplicar operações elementares até obter (Imid A^-1). Vamos usar eliminação de linhas e escalonamento completo.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada com a identidade 2times2:
l(Amid Ir) = (cc|cc 1 & a & 1 & 0 -,a & 1 & 0 & 1 )

Passo 3

O pivô na linha 1 já é 1. Agora zeramos o elemento abaixo dele na coluna 1 com
R2 R2 + a,R1
Isso dá
(cc|cc 1 & a & 1 & 0 0 & 1 + a^2 & a & 1 )

Passo 4

Escalonamos a linha 2 para tornar o pivô igual a 1, dividindo toda a linha por 1 + a^2:
R2 11 + a^2,R2 Longrightarrow (cc|cc 1 & a & 1 & 0 0 & 1 & dfraca1+a^2 & dfrac11+a^2 )

Passo 5

Por fim, eliminamos o a acima do pivô da coluna 2 com
R1 R1 - a,R2
Isso leva a
(cc|cc 1 & 0 & dfrac11+a^2 & -,dfraca1+a^2 0 & 1 & dfraca1+a^2 & dfrac11+a^2 ),
ou seja, (Imid A^-1).

Passo 6

Concluímos que a inversa existe desde que o determinante seja não nulo. Aqui
det(A) = 1cdot1 - (-a)cdot a = 1 + a^2 neq 0
para todo ainR. Logo, a inversa é bem definida.

Resposta

A^-1 = 11+a^2 1 & -a a & 1

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