Dado o conjunto de vetores (1,2,1),(2,3,1),(3,5,2) no espaço R^3 :
Verifique se esse conjunto é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores (1,2,1),(2,3,1),(3,5,2) em R^3 é linearmente independente. Vamos usar a definição: o conjunto é independente se a combinação linear que dá o vetor nulo só admite solução trivial.

Passo 2

Escrevemos a combinação genérica que deve ser igual a zero:
a(1,2,1) + b(2,3,1) + c(3,5,2) = (0,0,0)
Isso gera as três equações:
a + 2b + 3c = 0,
2a + 3b + 5c = 0,
a + b + 2c = 0

Passo 3

Note que
(1,2,1) + (2,3,1) = (3,5,2)
Isso significa que podemos escolher a=1, b=1, c=-1 e obter
1cdot(1,2,1) + 1cdot(2,3,1) + (-1)cdot(3,5,2) = (0,0,0)
com (a,b,c)neq(0,0,0). Logo existe combinação não trivial que dá o vetor nulo.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente, pois (3,5,2) = (1,2,1) + (2,3,1).

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