Considere o espaço vetorial
C([0,1], R)=f:[0,1] R / f é contínua éí
munido do produto interno
lang<= f, grang<==integral0^1 f(x) g(x) d x
Sendo |cdot| a norma definida por lang<=cdot, cdotrang<= em C([0,1], R), calcule |f| onde
(b) f(x)=x^2, x in[0,1].

Passo 1

O enunciado está em C([0,1],R) com o produto interno
lang<= f,grang<==integral0^1 f(x),g(x),dx
e pede a norma de f(x)=x^2. Lembrando que a norma é dada por
|f|=raizlang<= f,frang<=,
vamos primeiro escrever |f|^2 como um integral e depois avaliar.

Passo 2

Escrevemos
|f|^2 = lang<= f,frang<= = integral0^1 l(x^2r)!l(x^2r),dx = integral0^1 x^4,dx

Passo 3

Para calcular o integral, usamos a antiderivada de x^4:
integral0^1 x^4,dx = [x^55]0^1 = 1^55 - 0^55 = 15

Passo 4

Agora basta tirar a raiz quadrada para obter a norma:
|f| = raiz|f|^2 = raiz15 = 1raiz5

Resposta

|f| = 1raiz5

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