Considere o espaço vetorial V=F(R ; R). Fixada a função g: R longrightarrow R, mostre que o conjunto F1=f in F(R ; R) mid f(g(x))=f(x) é um subespaço vetorial de F(R ; R).
(12) Mostre que o conjunto das funções contínuas C([a, b], R) tais que
integrala^b f(x) d x=0
é um subespaço vetorial de F(R, R).

Passo 1

Temos o espaço vetorial V=F(R;R) com adição ponto a ponto e multiplicação por escalar usual.
  1. Fixada g:RtoR, queremos mostrar que
F1=,finF(R;R)mid f(g(x))=f(x) forall x
é subespaço de V.
2. No segundo caso, consideramos
S=l,fin C([a,b],R)mid integrala^bf(x),dx=0r
e queremos ver que S também é subespaço de F(R;R).
Em ambos os casos basta verificar que o conjunto contém a função zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostrar que F1 é subespaço de F(R;R):
1. A função nula 0(x)=0 satisfaz 0(g(x))=0=0(x), logo 0in F1.
2. Se f,hin F1, então para todo x
(f+h)(g(x))=f(g(x))+h(g(x))=f(x)+h(x)=(f+h)(x),
portanto f+hin F1.
3. Se fin F1 e alphainR, então
(alpha f)(g(x))=alpha,f(g(x))=alpha,f(x)=(alpha f)(x),
logo alpha fin F1.
Como 0in F1 e F1 é fechado sob soma e produto por escalar, concluímos que F1 é um subespaço vetorial de F(R;R).

Passo 3

Mostrar que
S=l,fin C([a,b],R)mid integrala^bf(x),dx=0r
é subespaço de F(R;R):
1. A função nula 0(x)=0 é contínua e
integrala^b0(x),dx=0,
portanto 0in S.
2. Se f,hin S, então
integrala^b(f+h)(x),dx=integrala^bf(x),dx+integrala^bh(x),dx=0+0=0,
e f+h é contínua, logo f+hin S.
3. Se fin S e alphainR, então
integrala^b(alpha f)(x),dx=alphaintegrala^bf(x),dx=alphacdot0=0
e alpha f é contínua, logo alpha fin S.
Como 0in S e S é fechado sob soma e escalar, concluímos que S é subespaço vetorial de F(R;R).

Resposta

F1 e o conjunto das funções contínuas com integral nula são subespaços vetoriais de F(R;R).

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