Considere o espaço vetorial
. Fixada a função
, mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
(12) Mostre que o conjunto das funções contínuas
tais que
é um subespaço vetorial de
.
(12) Mostre que o conjunto das funções contínuas
Passo 1
Temos o espaço vetorial
com adição ponto a ponto e multiplicação por escalar usual.
- Fixada
, queremos mostrar que
é subespaço de
.
2. No segundo caso, consideramos
2. No segundo caso, consideramos
e queremos ver que
também é subespaço de
.
Em ambos os casos basta verificar que o conjunto contém a função zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Em ambos os casos basta verificar que o conjunto contém a função zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostrar que
é subespaço de
:
1. A função nula satisfaz
, logo
.
2. Se , então para todo
1. A função nula
2. Se
portanto
.
3. Se e
, então
3. Se
logo
.
Como e
é fechado sob soma e produto por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Como
Passo 3
Mostrar que
é subespaço de
:
1. A função nula é contínua e
1. A função nula
portanto
.
2. Se , então
2. Se
e
é contínua, logo
.
3. Se e
, então
3. Se
e
é contínua, logo
.
Como e
é fechado sob soma e escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Como