Suponha que mathbfu times v cdot w=2. Calcule:
(2 u-v) times(v+3 w) cdot(-v).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto misto
(2u-v) times (v+3w) cdot (-v)
sabendo que
utimes vcdot w=2
O conteúdo envolvido é o produto misto (ou triplo escalar) e suas propriedades de linearidade, anticomutatividade e invariança cíclica.

Passo 2

Primeiro, tiramos o sinal negativo do último vetor para fora do produto misto:
(2u-v) times (v+3w) cdot (-v) =-l[(2u-v) times (v+3w)r]cdot v

Passo 3

Expandimos o produto vetorial usando bilinearidade:
(2u-v) times (v+3w) =2utimes v +2utimes 3w -vtimes v -vtimes 3w
Isto é,
=2,utimesv +6,utimesw -0 -3,vtimesw

Passo 4

Agora projetamos esse resultado em v:
-l[2,utimesv +6,utimesw -3,vtimeswr]cdot v =-l(2,utimesvcdot v +6,utimeswcdot v -3,vtimeswcdot vr)
Mas atimesbcdot b=0, logo os termos com utimesvcdot v e vtimeswcdot v desaparecem. Resta
-6,utimeswcdot v

Passo 5

Falta calcular utimeswcdot v. Usamos a invariança cíclica do produto misto:
utimesvcdot w =vtimeswcdot u =wtimesucdot v =2
Como utimes w = -,wtimes u, temos
utimes wcdot v =-l(wtimes ucdot vr) =-2

Passo 6

Substituindo em -6,utimeswcdot v:
-6 times (-2)=12

Resposta

12

Exercícios relacionados