Suponha que mathbfu times v cdot w=2. Calcule:
(u+v+w) times(v+w) cdot v;

Passo 1

O enunciado dá três vetores u,v,w em R^3 e informa que
utimesvcdotw=2
Pede-se para calcular
(u+v+w)times(v+w)cdotv
Vamos usar a bilinearidade do produto vetorial e as propriedades do produto misto (scalar triple product).

Passo 2

Escrevemos o produto misto expandindo a soma no primeiro fator:
(u+v+w)times(v+w)cdotv = l(utimes(v+w)r)cdotv + l(vtimes(v+w)r)cdotv + l(wtimes(v+w)r)cdotv

Passo 3

Cada termo se simplifica assim:
  • vtimes(v+w)cdotv=0 porque vtimesv=0 e vtimesw é ortogonal a v.
  • wtimes(v+w)cdotv=0 pelos mesmos motivos ( wtimesw=0 e wtimesv ortogonal a v).
  • Restou
utimes(v+w)cdotv =(utimesv)cdotv+(utimesw)cdotv =0+(utimesw)cdotv

Passo 4

Para avaliar (utimesw)cdotv usamos a propriedade cíclica do produto misto:
(utimesw)cdotv =ucdot(wtimesv) =-ucdot(vtimesw) =-,l(utimesvr)cdotw =-2

Resposta

-2

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